上一部分我们了解了线性规划的定义，基本形式和Matlab实现，那么这一部分我们介绍一些线性规划的应用。

可转化为线性规划的数学问题

例1 设有规划问题：

请将其变为一般形式的线性规划问题。

注意到，对于任意的,存在满足

这个条件很好实现，只需满足：

即可实现。
于是可以将此问题转化为一般的线性规划问题。

s.t.

线性规划的实际应用

运输问题（产销平衡问题）

例2 某商品有m个产地，n个销地，各产地的产量分别为,各销地的需求分别为，假设商品从产地运到销地的单位运价为，该如何调运才能使总运费最省？

引入变量,其取值为产地运到销地的商品数量，数学模型为

$\text { s.t. }\left\{\begin{array}{ll}{\sum_{j=1}^{n} x_{i j}=a_{i},} & {i=1, \cdots, m} \\ {\sum_{i=1}^{m} x_{i j}=b_{j},} & {j=1,2, \cdots, n} \\ {x_{i j} \geq 0}\end{array}\right.$

这是一个单纯的线性规划问题，而且是标准型，可以直接解决。

但是其实这类问题的约束条件矩阵系数十分特殊，如果没有计算机的话，使用另一种解决这类问题的方法——表上作业法更为快捷，表上作业法由于要制表，其实是更方便了手算，算法较为复杂，此处不再赘述，有兴趣的同学可自行查阅。

提供一个表上作业法教程的链接。
表上作业法

指派问题

例3 拟分配人去做项工作，每人干且仅干一项工作，若分配第人去干第项工作需要单位时间，问如何分配工作才能使工人花费总时间最少？

形如上面的一个问题称为一个指派问题。
引入变量，若分配干工作，则取，否则取，上述指派问题得上数学模型为：

上述问题不是标准线性规划问题，不能用标准方法解决，因为自变量是离散的，非0即1，这种自变量非0即1的问题称为0-1规划问题，0-1规划问题本身是非常难以解决的，但指派问题比较特殊，有专用算法，匈牙利算法来解决。

匈牙利算法

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds在1965年提出的一种算法，专用来解决分配问题。

例4 求解指派问题
其系数阵为：

1.将矩阵每一行减去其每一行的最小元素，得：

2.发现此时第3列没有0，于是将第三列减去其列中最小元素1.
$B_{2}=\left[\begin{array}{cccc}{1} & {0^{*}} & {3} & {7} \\ {0^{*}} & {4} & {1} & {1} \\ {7} & {5} & {0^{*}} & {0} \\ {1} & {3} & {5} & {0^{*}}\end{array}\right]$

3.对应上图矩阵标的位置得到指派方案。
下面矩阵代表指派方案，上一行代表完成工作的人，第二行代表其要完成的工作，也是指派问题输出的标准形式。

匈牙利算法的特殊情况

上述情况是匈牙利算法的简单情况，并不是所有时候都这么理想。

例5 求解指派问题
$C=\left[\begin{array}{ccccc}{12} & {7} & {9} & {7} & {9} \\ {8} & {9} & {6} & {6} & {6} \\ {7} & {17} & {12} & {14} & {12} \\ {15} & {14} & {6} & {6} & {10} \\ {4} & {10} & {7} & {10} & {6}\end{array}\right]$

1.每一行减去其最小元素
$\left[\begin{array}{ccccc}{5} & {0^{*}} & {2} & {0} & {2} \\ {2} & {3} & {0} & {0^{*}} & {0} \\ {0^{*}} & {10} & {5} & {7} & {5} \\ {9} & {8} & {0^{*}} & {0} & {4} \\ {0} & {6} & {3} & {6} & {2}\end{array}\right]$

这一步做完之后发现，没法进行下去了，因为不存在没有0的列了，第5个标的0找不到了。

这个时候换用另一条思路进行：

(1)对未选出0元素的行打
(2)对行中0元素所在列打
(3)对列中选中的0元素所在行打
重复(2),(3)直到无法打为止

标记

3.对所有没有打的行和打的列进行划线，这样可以用最少的线覆盖所有含0的行列。在剩下的元素中找到最小的。

划线，找出最小元素

4.令打的行减去这个元素，打的列加这个元素，这样未覆盖的区域至少有一个元素变为0，上述过程可反复进行，直到选出合适的0元素。
$\left[\begin{array}{11111}{7} & {0^{*}} & {2} & {0} & {2} \\ {4} & {3} & {0} & {0^{*}} & {0} \\ {0^{*}} & {8} & {3} & {5} & {3} \\ {11} & {8} & {0^{*}} & {0} & {4} \\ {0} & {4} & {1} & {4} & {0^{*}}\end{array}\right]$

5.得到最优指派

Matlab实现
匈牙利算法

下一次将解析一个线性规划的建模实例。

【数学建模算法】（2）线性规划的应用