浮点数的作用：区别于整形数，用来表示小数。可以用来表示很大的数，或者非常接近0的小数，或者近似的做实数计算，浮点数的一般形式：。
IEEE（pronounced “Eye-Triple-Eee”）浮点数标准。
rounding：when a number cannot be represented exactly in the format and hence must be adjusted upward or downward。可以翻译为：舍入。
十进制的小数表示：，写成数学表达式：
相应的，二进制也可以写成这种形式：
浮点数的表示
IEEE浮点数的格式：
- s是符号（Sign），s为0时是正，s为1时是负
- M是有效数字（Significand，即 尾数）
- E是 指数，Exponent，也叫 幂数，阶码
- 隐含的 基数 是2
下图是浮点数的内存分布模型，首先是符号域，然后是指数域，最后是分数域：
- 符号位s个，符号位只需要一位，s=1
- 指数位k个，指数域 ，用来计算指数E
- 分数为n个，分数域 ，用来计算有效数字M
32位浮点数（单精度，float型）中，s=1，k=8，n=23；64位浮点数（双精度，double型）中，s=1，k=11，n=52。
浮点数总共分为三种类型，下图是它们在数轴上的显示：
可以看到非正常化值集中在0附近，正常化值散布在整个数轴的空间，特殊值则只表示两个无穷值。
正常化值（Normalized Values）
当 域既不是全0，也不是全1的时候，就是正常化值。
，其中 就是 域： 的值（除去全0和全1之后，取值范围是1到），（单精度的时候是127，双精度的时候是1023），那么 的取值范围，单精度的时候是：-126 ~ +127，双精度的时候是：-1022 ~ +1023，其实 的算法就是 移码 的计算方法。
，，内存里只记录f，而1作为一个前导值计算时候再加上，所以f是分数域 的 这种形式
非正常化值（Denormalized Values）
当指数域全0，就是非正常化格式。
在这种情况下，指数值是 ，也就是固定了，有效数字值 也就是没有前导1了。这个格式下可以表示0，因为正常化值中，一定有： ，所以我们无法在正常化值格式下表示0。当符号位是0，有效数字 ，我们得到的就是+0.0，当符号位是1的时候就是-0.0。
除了可以表示0，这个格式的另一个作用就是用来表示非常接近0的数。
特殊值（Special Values）
当指数域全1的时候，且分数域是全0，就表示无穷大，如果符号域为0，表示 ，如果符号位是1，则表示 。无穷大可以作为溢出的结果，当我们用两个很大的数相乘，或者除以0；
当指数域全1，且分数域并非全0的时候，结果可以叫做：NaN（Not a Number的简写），这种值用来表示不能用实数或者无穷大表示的计算结果，比如计算： 或者 。
下图是浮点数三种类型的光滑衔接：
看完浮点数的设计和构造我们可以发现以下这些特点：
- 从编码上有效数字域采用了无符号整数编码，而指数域采用了移码编码
- 非正常化值均匀分布在0附近，间隔的大小是：，图中是
- 正常化值的间隔随着 变大而逐渐变大，也就是精度逐渐降低
- 精度是分组的，以指数域增加1为一组，每组有 个数（n是有效数字域的位数）
- 按照精度划分，非正常化值只占一组，特殊值按照精度也只占一组，正常化值占 组
- 牢记：非正常化值的指数域全0，特殊化值的指数域全1，处于中间的就是正常化值了
- 最高精度就是两个非正常化值的间隔，最低精度是最大的一组正常化值的相邻两数的间隔，这个最大间隔是：。
- 正常化值的第一组的精度和非正常化值的精度一样，也就是实现了无缝衔接，理解这个设计是关键
浮点数的计算
舍入
Rounding维基百科
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浮点数中使用的是：舍入到最近的偶数，因为舍入结果放大和缩小各占50%的概率，这样就可以防止最终结果偏大或者偏小。
下面是把浮点数舍入到小数点后两位数：
- -> 不到一半，正常四舍五入
- -> 超过一半，正常四舍五入
- -> 正好一半，保证最后一位是偶数，所以向上舍入
- -> 正好一半，保证最后一位是偶数，所以向下舍入
浮点数加减运算
基本性质
- 相加可能产生 infinity 或者 NaN
- 不满足交换律，不满足结合律（因为舍入会造成精度上的损失）
- 加上0等于原来的数
- 除了 infinity 和 NaN，每个数都有对应的相反数
- 除了 infinity 和 NaN，满足单调性，即
#include
using namespace std;
int main()
{
// 浮点数加法不满足交换律
cout << 3.14 + 1e20 - 1e20 << endl;
cout << 1e20 - 1e20 + 3.14 << endl;
// 浮点数加法不满足结合律
cout << (3.14 + 1e20) - 1e20 << endl;
cout << 3.14 + (1e20 - 1e20) << endl;
return 0;
}
运行结果:
0
3.14
0
3.14
具体细节
设两个浮点数 和 ：
则浮点数加减运算结果为：
- 对阶：首先要把指数位（阶码）调成一样，并相应的使M移位，由于有效域左移会引起最高有效位丢失，误差大，所以采用右移，此时阶码要增加。所以对阶原则是：小阶向大阶看齐。
- 有效数加减：简单的无符号数字相加减。
- 规格化：有效数求和结果可能大于1，那么就向右规格化：尾数右移1位，阶码加1。
- 舍入：对于右移出去的位，采取舍入
- 检查阶码是否溢出：
- 阶码下溢：运算结果为非规格化数
- 阶码上溢：置溢出标志
浮点数加减实例
求 。
首先算出 和 的内存表示：
，3的二进制表示是11，0.14的二进制要稍微计算一下，我们让0.14不断的乘以2（也就是左移），得到的整数位部分就是其二进制值的一位：
0.14 * 2 = 0.28 0
0.28 * 2 = 0.56 0
0.56 * 2 = 1.12 1
0.12 * 2 = 0.24 0
.
.
.
我们可以写个程序来完成这个计算工作：
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
// 获取整形数的位数
int getDigits(int num){
int count = 1;
while(num/10>0){
num %= 10;
count++;
}
return count;
}
/**
* 获取小数的二进制表示
* @params precision 二进制表示精确到多少位
* @params num 小数的整数表示
*/
char* getFloatBitset(int precision, int num){
char* res = new char[precision];
int digits = getDigits(num);
int mod = pow(10, digits);
char printFormat[50];
sprintf(printFormat,"%%0.%df",2);
// cout << printFormat < 上面代码保存成：float2Bitset.cpp文件，然后编译，并使用：
$ g++ -o float2Bitset float2Bitset.cpp
$ ./float2Bitset 23 0.14 2
小数位精确到23位的话，3.14的定点浮点数表示是：11.00100011110101110000101。
转成浮点数，首先规格化M，那么整体要右移1位，指数是1，由 ，, 得 ，也就是：1000 0000。
最终3.14的内存表示是：
同样的方法得到2.718的内存表示：
这两个数恰好是同阶的，那么就不需要对阶操作了。将M相加，但这个数太长了看着眼花，我们写个加法程序：
#include
using namespace std;
// 将两个相同位数的二进制数相加
char* addBitset(char num1[], char num2[], int length){
char* res = new char[length+2];
res[length+1] = '\0';
int carry = 0;
for(int i=length-1;i>=0;i--){
res[i+1] = num1[i]-'0'+num2[i]-'0'+carry+'0';
carry = 0;
if(res[i+1]>'1'){
res[i+1] -= 2;
carry = 1;
}
}
if(carry){
res[0]='1';
}else{
res[0]='0';
}
return res;
}
int main(int argc, char* argv[]){
int i=0;
while(argv[1][i]!='\0'){
i++;
}
cout << i < 上述代码保存成：addBitset.cpp，编译并使用该程序：
$ g++ -o addBitset addBitset.cpp
$ ./addBitset 10010001111010111000011 01011011111001110110110
相加结果等于：0 11101101110100101111001，最高位没有产生进位，这里用了一个0来代替，但两个前导1相加产生了进位，所以还需要对M右归一下，再对指数加1。所以加法结果的浮点数表示是：
这个数的十进制表示的计算方法是：
我们依然采用程序来计算这一长串二进制对应的十进制小数：
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
double bitset2Float(char* num1, int length){
double res = 0.0;
int count=1;
for(int i=0;i 上述代码保存为：Bitset2float.cpp，编译并执行：
$ g++ -o Bitset2float Bitset2float.cpp
$ ./Bitset2float 01110110111010010111101
对得到结果：0.4645，，而 ，这就说明我们的计算无误。
了解了浮点数加法的流程之后，最后我们回到最上面说的 浮点数加减法不满足交换律和结合律，从计算细节分析为什么不行。
首先 3.14 的浮点数表示我们已经计算过了，那么 1e20 的浮点数是多少呢？1e20也就是 ，用辗转相除法可以得到其二进制表示。我们这里使用计算器工具，先输入一个1，然后开始输入0，我们可以观察到相应的二进制数也随着发生变化，最后停在了。
很遗憾的是64bit只能摆的下 。我试了一下把源程序中的 1e20 换成 1e19 也是同样的结果。所以我们就使用 1e19 来分析这道题。
首先是M规格化，M右移63位，E加63，舍入M，那么 1e19 最终的双精度浮点数表示是：0 10000111110 0001010110001110010001100000100100010011110100000000
小阶向大阶看齐，3.14的阶是1，M需要右移62位，而M的精度才52，可想而知M就是0了。那么 3.14 + 1e19 的结果就是 1e19。1e20就更加不用说了。
浮点数乘除
基本性质
- 相乘可能产生 infinity 或者 NaN
- 不满足交换律，结合律，分配率（因为溢出会造成程序无法计算出正确的结果）
- 乘以1会等于原来的数
- 除了 infinity 和 NaN，满足单调性：
具体细节
设两个浮点数 和 ：
则浮点数乘除运算结果是：
- 计算阶码，判断是否溢出
- 求有效数的乘积
- 有效数舍入
- 计算符号位
浮点数还有相当多的细节，可以参考：IEEE 754