04 主题模型 - NMF

02 主题模型 - SVD矩阵分解、LSA模型
03 主题模型 - LSA案例

五、NMF

参考：https://www.csie.ntu.edu.tw/~cjlin/papers/pgradnmf.pdf
NTU 台湾科技大学，林轩田教授的团队每年都会带着学生参加数据建模的比赛。其团队的数据算法功底非常扎实，每次比赛的名词也不错。NMF也是他们研究出来的一个成果。

非负矩阵分解(Non-negative Matrix Factorization, NMF)是一种常用的矩阵分解方式，常用于矩阵分解、降维、主题模型等应用场景。

NMF虽然和SVD一样都是矩阵分解，但是NMF不同的是：它的目标希望是将矩阵分解成为两个子矩阵。

在NMF中求解出来的W和H，分别体现的是文本和主题的概率相关度，以及词和主题的概率相关度；

NMF的期望 是找到两个W、H矩阵，使得WH的矩阵乘积结果和对应的原矩阵V对应位置的值相比误差尽可能的小。

损失函数

分析损失函数：
在损失函数中，V_ij是原始矩阵。W、H是根据原始矩阵分解出的两个矩阵。
V_ij - WH ，类似 真实值-预测值 的概念。
NMF 矩阵分解的结果是非负的，所以要求W、H矩阵中的元素 W_ia、H_bj 大于等于0；

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思考：NMF的损失函数中包含了多少参数？

W矩阵是m×k矩阵，W矩阵是未知的待求解矩阵。
H矩阵是k×m矩阵，H矩阵也是未知的待求解矩阵。
所以NMF的目标函数 中总共包含了mk+kn个参数，可以直接使用梯度下降法或者拟牛顿法来进行求解。

注意，这里W的k+1是一个矩阵

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为了防止过拟合，也可以在NMF的目标函数的基础上添加一个正则化项。

PS：为了防止过拟合，所有模型的解决方案都是比较模式化的。如 ||w||₁¹ 是L1正则， ||w||₂²是L2正则，前面都加上了一个系数，分别表示有多少比例用了L1正则，多少比例用了L2正则。

但是当加入L1正则项后，由于没法求解出正常的导函数出来(导函数不是连续的)，也就没法使用梯度下降法和拟牛顿法求解参数，此时一般采用坐标轴下降法来进行参数的求解。

05 主题模型 - 坐标轴下降法