LINK：Divisor Paths
考试的时候已经想到结论了 可是质因数分解想法错了 导致自闭。
一张图 一共有D个节点 每个节点x会向y连边 当且仅当y|x,x/y是一个质数。
设f(d)表示d的约数个数 那么x->y的无向边的边权为f(x)-f(y);
每次询问两个点x,y之间的最短路径的条数有多少条,保证x|D,y|D.
不妨假设x>y.当y|x时容易发现y只需要每次在保证次数大于x的质因子上不断将自己本身的一个质数因子去掉即可。
不难发现 此时最短路长度为1 因为不管中间去的方式如何最后得到的是同一个值。
可以发现 此时我们完全可以把 y当成1 把x当成x/y 来计算。
可以发现x不会增加一个质因子 因为最后还是要减掉这是不优的。
方案容易看出是排列数/每个质因子的阶乘。
考虑当y不整除x的时候
有几种选择 x->gcd(x,y)->y x->lcm(x,y)->y.
考虑第一种 x不可能往比gcd更小的点走 因为那样走只是在白白的增加恭喜罢了 同理第二种 x不会往比lcm更大的走。
可以发现 gcd(x,y)->y和x->lcm(x,y)中 显然前者一定小于后者。
考虑 x->gcd(x,y) 和 lcm(x,y)->y 中 也很显然前者一定小于后者。
再考虑路径x->gcd(x,y)这个东西 可以证明中途的时候去跑到y的质因子上面带来的结果会更差。
综上算出两条路径的方案之积即可。
考试的时候 sb的地方是 发现给出的x y质因数分解复杂度会高达1e7发现做不了。
但是我们考虑直接拿质数来筛 因为都是D的因数 所以拿D里面的质因数筛即可。
可以发现D里面的质因数不超过13个。
这样只用暴力分解D即可、
const ll MAXN=60;
ll D,n,top,maxx;
ll c[MAXN],w[MAXN],s[MAXN];
ll fac[MAXN],inv[MAXN];
inline ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
inline ll ksm(ll b,ll p){ll cnt=1;while(p){if(p&1)cnt=cnt*b%mod;p=p>>1;b=b*b%mod;}return cnt;}
inline void prepare()
{
fac[0]=1;
rep(1,maxx,i)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
inv[maxx]=ksm(fac[maxx],mod-2);
fep(maxx-1,0,i)inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
inline ll solve(ll x)
{
ll cnt=0;
rep(1,top,i)
{
c[i]=0;
if(x%s[i]==0)while(x%s[i]==0)++c[i],x/=s[i];
cnt+=c[i];
}
ll ans=fac[cnt];
rep(1,top,i)ans=ans*inv[c[i]]%mod;
return ans;
}
signed main()
{
freopen("1.in","r",stdin);
get(D);ll cc=D;
for(ll i=2;i*i<=cc;++i)
{
if(cc%i==0)
{
s[++top]=i;
while(cc%i==0)cc/=i,++w[top];
}
}
if(cc>1)s[++top]=cc,++w[top];
rep(1,top,i)maxx+=w[i];
get(n);prepare();
rep(1,n,i)
{
ll x,y;
get(x);get(y);
ll gg=gcd(x,y);
putl(solve(x/gg)*solve(y/gg)%mod);
}
return 0;
}