2013 Multi-University Training Contest 1
HDU-4605 Magic Ball Game
题意：给定一颗以1为根的数，每个节点要么有两个孩子节点，要么没有孩子，每个节点有一个重量，现在从节点1往下放置一个小球，根据小球和节点的重量的不同球落下的轨迹是一个概率问题：
设球的重量为X，节点的重量为w[i]：
X = w[i]，那么小球的运动将停止；
X < w[i]，那么小球向左孩子下落的概率为1/2，向右孩子下落的概率为1/2；
X > w[i]，那么小球向左落下概率为1/8，向右落下的概率为7/8。
现在有Q组询问，问小球的质量为X，落到v节点的概率为多大？
分析：最直接的办法就是直接暴力求解该题，从询问的叶子节点开始向上寻找，进行概率的累加，比赛的时候这样写，超时了。赛后听说是使用的树状数组维护路径状态进行求解。具体过程是在一个dfs的过程中，统计好当前位置的左路径的节点和右路径的节点，然后将小球的质量在树状数组中进行查找，计算出比小球质量较小的节点数以及比小球质量较大的节点数，累加概率即可。注意直接dfs会爆栈，使用编译器命令后解决该问题。
#include <cstdlib> #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> #include <vector> #include <map> #pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000") using namespace std; struct Node { int num, vertex, weight, ansx, ansy; Node(int _n, int _v, int _w, int _ansx, int _ansy) : \ num(_n), vertex(_v), weight(_w), ansx(_ansx), ansy(_ansy) {} bool operator < (const Node &other) const { return num < other.num; } }; const int N = 100005; vector<Node>v[N], vv; // first元素是询问的编号，pair的第一个元素是询问的 int ch[N][2], w[N]; int n, m; int num[N<<1], cnt; map<int,int>mp; int lbit[N<<1], rbit[N<<1]; // 因为询问和给定节点加起来上限是2*N个不同的数值 inline int lowbit(int x) { return x & -x; } void add(int bit[], int x, int val) { for (int i = x; i <= cnt; i += lowbit(i)) { bit[i] += val; } } int sum(int bit[], int x) { int ret = 0; for (int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) { ret += bit[i]; } return ret; } void dfs(int u) { for (int i = 0; i < (int)v[u].size(); ++i) { int weight = mp[v[u][i].weight]; int lsum = sum(lbit, weight), rsum = sum(rbit, weight); int ltot = sum(lbit, cnt), rtot = sum(rbit, cnt); bool find = lsum && bool(lsum - sum(lbit, weight-1)) || rsum && bool(rsum - sum(rbit, weight-1)); if (!find) { v[u][i].ansx = rsum; v[u][i].ansy = rtot-rsum + ltot-lsum + lsum*3 + rsum*3; } else { v[u][i].ansx = v[u][i].ansy = -1; } } if (ch[u][0]) { add(lbit, mp[w[u]], 1); dfs(ch[u][0]); add(lbit, mp[w[u]], -1); } if (ch[u][1]) { add(rbit, mp[w[u]], 1); dfs(ch[u][1]); add(rbit, mp[w[u]], -1); } } int main() { int T; scanf("%d", &T); while (T--) { scanf("%d", &n); cnt = 0, mp.clear(), vv.clear(); memset(ch, 0, sizeof (ch)); memset(lbit, 0, sizeof (lbit)); memset(rbit, 0, sizeof (rbit)); for (int i = 1; i <= n; ++i) { v[i].clear(); scanf("%d", &w[i]); num[cnt++] = w[i]; // 将所有的要进行处理的节点重量以及询问的重量离散化 } scanf("%d", &m); int a, b, c; for (int i = 0; i < m; ++i) { scanf("%d %d %d", &a, &b, &c); ch[a][0] = b, ch[a][1] = c; } int Q; scanf("%d", &Q); for (int i = 0; i < Q; ++i) { scanf("%d %d", &a, &b); v[a].push_back(Node(i, a, b, 0, 0)); num[cnt++] = b; } sort(num, num + cnt); cnt = unique(num, num + cnt) - num; // 离散化之后一共是cnt个元素 for (int i = 0; i < cnt; ++i) { mp[num[i]] = i + 1; // 这里加1是为了避免树状数组统计时无法处理0号元素 } dfs(1); // 题目中约定了1为根 for (int i = 1; i <= n; ++i) { for (int j = 0; j < (int)v[i].size(); ++j) { vv.push_back(v[i][j]); } } sort(vv.begin(), vv.end()); for (int i = 0; i < (int)vv.size(); ++i) { printf(vv[i].ansx == -1 ? "0\n" : "%d %d\n", vv[i].ansx, vv[i].ansy); } } return 0; }
HDU-4606 Occupy Cities
题意：给定N个城市，现在要从这些城市被外星人攻击还是什么的，要去提前占领这些城市，给出N个城市的二维坐标。同时，在地图上存在一些线段栅栏，一条线路不能够直接越过栅栏。现在有P个士兵，每个士兵可以空降到某一坐城市，士兵到达某座城市后，可以前往另外一座城市，在前往城市的路上需要一些食物消耗，每单位距离对应一个单位食物消耗，没新到一个城市，包裹将被重新填充满。所有士兵都配有一个包裹，包裹单位与食物单位。现在列出一个城市占领的先后序列，要求最多使用P个士兵按照这个序列前去占领，问最少的背包容量为多少？
分析：首先只要背包容量够大，那么一个士兵也是能够把所有的城市走遍的。这题一个直接的想法就是去二分枚举背包的容量，然后通过几何加之最短路处理将城市与城市之间的最短距离求出来，再然后根据背包容量构造子图，最后求一个有向无环图的最小路径覆盖数，比较最小路径覆盖数与P的关系即可。
#include <cstdlib> #include <cstring> #include <cstdio> #include <algorithm> #include <iostream> #include <cmath> using namespace std; struct Point { double x, y; Point() {} Point(double _x, double _y) : x(_x), y(_y) {} void read() { scanf("%lf %lf", &x, &y); } double operator * (const Point &b) const { return x*b.y - y*b.x; } Point operator - (const Point &b) const { return Point(x-b.x, y-b.y); } }; struct Line { Point s, e; Line() {} Line(Point _s, Point _e) : s(_s), e(_e) {} }; const int N = 105; const int M = 105; const double eps = 1e-6; int n, m, p, LIM; Point pt[N*3]; int seq[N]; double mp[N*3][N*3]; char G[N][N]; char vis[N]; int match[N]; inline int sign(const double &x) { return (x < eps) ? -1 : (x > eps); } inline double dist(const Point &a, const Point &b) { return sqrt(1.0*(a.x-b.x)*(a.x-b.x) + 1.0*(a.y-b.y)*(a.y-b.y)); } void floyd() { for (int k = 1; k <= LIM; ++k) { for (int i = 1; i <= LIM; ++i) { if (i == k) continue; for (int j = 1; j <= LIM; ++j) { if (i == j || j == k) continue; if (sign(mp[i][k] + mp[k][j] - mp[i][j]) < 0) { mp[i][j] = mp[i][k] + mp[k][j]; } } } } } bool inter(const Line l1, const Line l2) { return max(l1.s.x, l1.e.x) > min(l2.s.x, l2.e.x) && max(l2.s.x, l2.e.x) > min(l1.s.x, l1.e.x) && max(l1.s.y, l1.e.y) > min(l2.s.y, l2.e.y) && max(l2.s.y, l2.e.y) > min(l1.s.y, l1.e.y) && sign((l2.s-l1.s)*(l1.e-l1.s)) * sign((l2.e-l1.s)*(l1.e-l1.s)) < 0 && sign((l1.s-l2.s)*(l2.e-l2.s)) * sign((l1.e-l2.s)*(l2.e-l2.s)) < 0; } void build() { bool c; for (int i = 1; i <= LIM; ++i) { for (int j = i+1; j <= LIM; ++j) { // 枚举两个城市之间是否有边相连 c = false; for (int k = 1, d = 1; k <= m; ++k, d+=2) { if (i > n && k == (i-n+1)/2) continue; if (j > n && k == (j-n+1)/2) continue; if (inter(Line(pt[i], pt[j]), Line(pt[n+d], pt[n+d+1]))) { c = true; break; } } if (!c) { // 说明没有直线与两个城市之间的连线相交 mp[i][j] = mp[j][i] = dist(pt[i], pt[j]); } } } floyd(); } bool path(int u) { for (int v = 1; v <= n; ++v) { if (vis[v] || !G[u][v]) continue; vis[v] = 1; if (!match[v] || path(match[v])) { match[v] = u; return true; } } return false; } bool Ac(double mid) { memset(G, 0, sizeof (G)); memset(match, 0, sizeof (match)); for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 有向无环图构造完成 for (int j = i+1; j <= n; ++j) { if (sign(mid - mp[seq[i]][seq[j]]) >= 0) { G[seq[i]][seq[j]] = 1; } } } int cnt = 0; for (int i = 1; i <= n; ++i) { memset(vis, 0, sizeof (vis)); if (path(i)) ++cnt; } return n-cnt <= p; } double bsearch(double l, double r) { double mid, ret; while (r - l >= eps) { mid = (l + r) / 2.0; if (Ac(mid)) { r = mid - eps; ret = mid; } else { l = mid + eps; } } return ret; } int main() { int T; scanf("%d", &T); while (T--) { scanf("%d %d %d", &n, &m, &p); LIM = n+2*m; for (int i = 1; i <= LIM; ++i) { for (int j = i; j <= LIM; ++j) { mp[i][j] = mp[j][i] = 1e20; } } for (int i = 1; i <= n; ++i) pt[i].read(); for (int i = 1, j = 1; i <= m; ++i, j+=2) { pt[n+j].read(), pt[n+j+1].read(); } for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", &seq[i]); build(); double ret = bsearch(0, 1e5); printf("%.2f\n", ret); } return 0; }