最少插入字符

给定字符串,可以通过插入字符,使其变为回文。求最少插入字符的数量。例如:

  1. ab最少插入1个字符,变为*b*ab

  2. aa最少插入0个字符

  3. abcd最少插入3个字符,*dcb*abcd

分析

这个题目的分析思路,和前面两期是非常相似的:给出递归的解法,发现重复的子问题,改进为动态规划的解法,这是一个分析的过程,待同学们比较熟悉时候,可以直接给出动态规划的解决方案,就很好了。

这个题目,递归该如何解呢?给定一个字符串str,长度为n,怎么插入最少的字符,是的字符串变为回文呢?插入最少的字符,就是要尽量利用原来的字符,在原字符串str中,尽量利用更多能够匹配的字符。怎么对这个问题进行分解呢?考虑str字符串整体:

  1. 如果str[0]==str[n-1],则问题转变为求str[1,n-2],插入最少字符,得到回文

  2. 如果str[0]!=str[n-1],则需要插入一个字符要么和str[0]相同,要么和str[n-1]相同,

    1. 如果和str[0],则转变为str[1,n-1],插入最少字符,得到回文

    2. 如果和str[n-1],则转变为str[0,n-2],插入最少字符,得到回文

上面的第2种情况中,需要取两个值最小值。则完成了问题的分解,并且,基本情况也分析完全,则有递归式为:

fmi(str, l, h) = (str[l] == str[h]) ? fmi(str, l+1, h-1) : (min(fmi(str, i+1, h), fmi(str,l, h-1))+1)

通过上面的式子,有经验的、熟练的同学,很直接的就能看出来,存在重复的子问题,这就意味着,我们可以讲子问题的解缓存使用。如果,没有直接能够看出来的同学们,还是可以按照我们之前的方法,把递归树画出来吧,那样更加一目了然。

那么,这个题目该如何用动态规划的解决呢?如何重复利用子问题的解呢?似乎有些不那么直接。但其实也是于规律可循的。上面的递归式,是从字符串的两 边,想中间移动递归,根据动态规划解决问题的思想,我们先解决子问题,再重复利用子问题,就是要从内向外解决,大家还记得回文子串判断的那个题目么,动态 规划解法的外层循环是子串的长度,这个题目也是类似的。示例代码如下:

最少插入字符

http://mp.weixin.qq.com/mp/appmsg/show?__biz=MjM5ODIzNDQ3Mw==&appmsgid=10000309&itemidx=1&sign=02c5c04f2410767cab1019cf64ebdc07

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