IEEE754、VAX、IBM浮点型介绍和.NET中互相转换

【题外话】

最近在做C3D文件的解析，好奇怪的是文件中竟然存储了CPU的类型，原本不以为然，结果后来读取一个文件发现浮点数全部读取错误。查了下发现虽然在上世纪80年代就提出了IEEE754要统一浮点数标准，但是到现在仍然有计算机采用不同方式存储浮点数。在某些非IEEE754标准的计算机产生的二进制文件中，如果拿到其他计算机中读取，如果不进行专门的转换，可能导致数据错误等问题。

 

【文章索引】

1. IEEE754标准浮点数字的存储详解
2. VAX及IBM浮点数字的存储和转换
   
3. 双精度浮点数的处理

 

【一、IEEE754标准浮点数字的存储详解】

对于x86等常见的CPU，都是采用IEEE754存储和计算浮点型的，当然在.NET平台中浮点型也是IEEE754标准的。首先回顾下本科时学过的计算机组成原理，查了下课本发现是如下介绍IEEE754浮点数的存储的（唐朔飞版课本233页）：

其中，S为数符，它表示浮点数的正负，但与其有效位（尾数）是分开的。阶码用移码表示，阶码的真值都被加上一个常数（偏移量），如短实数、长实数和临时实数的偏移量用十六进制表示分别为7FH、3FFH和3FFFH。尾数部分通常都是规格化表示，即非“0”的有效位最高位总是1。

以单精度浮点数为例，如果字节查看应该是如下这个样子的，数符占第1字节的第1位，阶码占第1字节的后7位及第二字节的第1位，其余都是尾数。

SEF      S        EEEEEEEE        FFFFFFF        FFFFFFFF        FFFFFFFF

bits     1        2      9        10                                    32

bytes    byte1           byte2                   byte3           byte4

如果设数符为S，阶码为E，尾数的小数部分为F，那么可以通过位运算得到这三位：

Double S = (byte1 & 0x80) >> 7;

Double E = ((byte1 & 0x7F) << 1) + ((byte2 & 0x80) >> 7);

Double F = ((byte2 & 0x7F) << 16) + (byte3 << 8) + byte4;

由于阶码用移码表示，所以真实的阶码则是E - 0x7F。而尾数由于是规格化的表示，即将尾数规范化为(1.FFFFF……FF)₂，但只存小数点之后的部分。由于1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + ... + 1 / n = 1 - 1 / 2ⁿ，所以可知尾数M（M = 1.0 + F）的范围为1 <= M <= 2 - 1 / 2²³。

所以可通过如下的公式来计算浮点数的值，其中，C是尾数规范化后减去的常量，B是移码的偏移量，可知A、B、C分别为A = 2、B = 0x7F以及C = 1.0。

V = (-1)^S * (F + C) * A^(E - B)

可见，浮点数就不存在0的概念了，所以只能用极限小来表示，同时为了表示无穷大，规定E取值范围为0 < E < 0xFF，即-0x7F < (E - B) < 0x80。

所以，当E = 0xFF时，指数最大，规定F = 0时为无穷值，其中又有S = 0为正无穷以及S = 1为负无穷；而F != 0时为无效数字（NaN）。

当E = 0时，指数最小，规定F = 0时为0，其中又有S = 0为正0以及S = 1时为-0。

不过表示非常小的数字，允许当E = 0时非规范化的尾数存在。即当E = 0且F !=0时，V = (-1)^S * F * A^-126。

二进制表示	十六进制表示	含义	十进制表示
0 11111111 00000000000000000000000	7F 80 00 00	正无穷	+∞
1 11111111 00000000000000000000000	FF 80 00 00	负无穷	-∞
0 00000000 00000000000000000000000	00 00 00 00	+0	0
1 00000000 00000000000000000000000	80 00 00 00	-0	0
0 00000000 00000000000000000000001	00 00 00 01	最小正数	1.401298E-45
0 11111110 11111111111111111111111	7F 7F FF FF	最大值	3.402823E+38
1 11111110 11111111111111111111111	FF 7F FF FF	最小值	-3.402823E+38
0 01111111 00000000000000000000000	3F 80 00 00	+1	1

而二进制小数转十进制小数的计算可以直接按整数的转换来做，然后除以2ⁿ即可，n在这里其实就是尾数的长度，为23。

所以，有了以上的这些信息，我们就可以将浮点数字与字节数组相互转换了（本文假定给定的字节数组都是Litten-Endian）：

 1 Single ToSingle(Byte[] data)

 2 {

 3     Double a = 2.0;

 4     Double b = 127.0;

 5     Double c = 1.0;

 6     Double d = -126.0;

 7 

 8     Byte byte1 = data[3];

 9     Byte byte2 = data[2];

10     Byte byte3 = data[1];

11     Byte byte4 = data[0];

12 

13     Double s = (byte1 & 0x80) >> 7;

14     Double e = ((byte1 & 0x7F) << 1) + ((byte2 & 0x80) >> 7);

15     Double f = ((byte2 & 0x7F) << 16) + (byte3 << 8) + byte4;

16     Double m = f / Math.Pow(2, 23);

17 

18     if (e == 0xFF && f == 0) return (s == 0 ? Single.PositiveInfinity : Single.NegativeInfinity);

19     if (e == 0xFF && f != 0) return Single.NaN;

20     if (e == 0x00 && f == 0) return 0;

21     if (e == 0x00 && f != 0) return (Single)((s == 0 ? 1.0 : -1.0) * m * Math.Pow(a, d));

22 

23     return (Single)((s == 0 ? 1.0 : -1.0) * (c + m) * Math.Pow(a, e - b));

24 }

25 

26 Byte[] GetBytes(Single num)

27 {

28     Double a = 2.0;

29     Double b = 127.0;

30     Double c = 1.0;

31     Double d = Math.Log(2);

32 

33     Int32 s = (num >= 0 ? 0 : 1);

34 

35     Double v = Math.Abs(num);

36     Int32 e = (Int32)(Math.Log(v) / d + b);

37 

38     Double m = (v / Math.Pow(a, e - b)) - c;

39     Int32 f = (Int32)(m * Math.Pow(2, 23));

40 

41     Byte[] data = new Byte[4];

42     data[3] = (Byte)((s << 7) + ((e & 0xFE) >> 1));

43     data[2] = (Byte)(((e & 0x01) << 7) + ((f & 0x007F0000) >> 16));

44     data[1] = (Byte)((f & 0x0000FF00) >> 8);

45     data[0] = (Byte)(f & 0x000000FF);

46 

47     return data;

48 }

上述的浮点数转字节数组不能支持NaN和非规范化的情况，当然也可以自己判断下。当然了，上边说了这么多还是为了介绍下边两种浮点数做铺垫。如果实现系统浮点数与字节数组转换的话，用上边这种方法转换就不如用System.BitConverter来的方便了。

 

【二、VAX及IBM浮点数字的存储和转换】

首先还是按字节看下VAX和IBM浮点型的存储：

VAX单精度浮点：

SEF         S        EEEEEEEE        FFFFFFF        FFFFFFFF        FFFFFFFF

bits        1        2      9        10                                    32

bytes       byte2           byte3                   byte0           byte1

IBM单精度浮点：

SEF         S        EEEEEEE        FFFFFFFF        FFFFFFFF        FFFFFFFF

bits        1        2     8        9                                      32

bytes       byte1                   byte2           byte3           byte4

非常有意思的是，VAX存储的结构并不是按顺序存储的，而是采用了一种叫做Middle-Endian的存储方式来存储（并非字节序）：对于四字节而言其顺序就是2301，八字节为23016745，十六字节为23016745AB89EFCD。不过总体来说，VAX浮点型与IEEE754还是很类似的，比如VAX也要进行规范化，但是其规范化为(0.1FFFFF..FF)₂，所以上述的C就为0.5，其尾数M的范围即为1/2 <= M <= 1 - 1 / 2²⁴；而同时其也并没有规定无穷大，不需要单独为无限大留出最大的阶码，所以上述的B为0x80。

而IBM单精度浮点则与上述两种差别更大。首先其阶码并不是8位，而是7位，由于还是使用移码存储的阶码，所以其减去的不能是127或者128，而是64，所以其与VAX一样，也没有无穷值的表示。除此之外，其也不是以2为底计算阶码的，而是以16为底，并且其没有规范化尾数的要求（当然这也与其以16为底有关），所以不需要对尾数进行加减运算，其范围为1/16 <= M <= 1- 1 / 2²⁴。

以下是实现VAX浮点字节数组与系统浮点数字相互转化的类：

 1 using System;

 2 

 3 namespace DotMaysWind.Numerics

 4 {

 5     /// <summary>

 6     /// VAX单精度浮点数字

 7     /// </summary>

 8     /// <remarks>

 9     /// SEF         S        EEEEEEEE        FFFFFFF        FFFFFFFF        FFFFFFFF

10     /// bits        1        2      9        10                                    32          

11     /// bytes       byte2           byte1                   byte4           byte3

12     /// </remarks>

13     public struct VAXSingle

14     {

15         #region 常量

16         private const Int32 LENGTH = 4;

17         private const Double BASE = 2.0;

18         private const Double EXPONENT_BIAS = 128.0;

19         private const Double MANTISSA_CONSTANT = 0.5;

20         private const Double E24 = 16777216.0;

21         #endregion

22 

23         #region 字段

24         private Byte[] _data;

25         #endregion

26 

27         #region 构造方法

28         /// <summary>

29         /// 初始化新的VAX单精度浮点数字

30         /// </summary>

31         /// <param name="data">VAX单精度浮点数字字节数组</param>

32         /// <param name="startIndex">数据起始位置</param>

33         public VAXSingle(Byte[] data, Int32 startIndex)

34         {

35             this._data = new Byte[VAXSingle.LENGTH];

36             Array.Copy(data, startIndex, this._data, 0, VAXSingle.LENGTH);

37         }

38 

39         /// <summary>

40         /// 初始化新的VAX单精度浮点数字

41         /// </summary>

42         /// <param name="num">系统标准的单精度浮点数字</param>

43         public VAXSingle(Single num)

44         {

45             Int32 s = (num >= 0 ? 0 : 1);

46 

47             Double v = Math.Abs(num);

48             Int32 e = (Int32)(Math.Log(v) / Math.Log(2.0) + 1.0 + VAXSingle.EXPONENT_BIAS);

49 

50             Double m = (v / Math.Pow(VAXSingle.BASE, e - VAXSingle.EXPONENT_BIAS)) - VAXSingle.MANTISSA_CONSTANT;

51             Int32 f = (Int32)(m * VAXSingle.E24);

52 

53             this._data = new Byte[VAXSingle.LENGTH];

54             this._data[1] = (Byte)((s << 7) + ((e & 0xFE) >> 1));

55             this._data[0] = (Byte)(((e & 0x01) << 7) + ((f & 0x007F0000) >> 16));

56             this._data[3] = (Byte)((f & 0x0000FF00) >> 8);

57             this._data[2] = (Byte)(f & 0x000000FF);

58         }

59         #endregion

60 

61         #region 方法

62         /// <summary>

63         /// 获取系统标准的单精度浮点数字

64         /// </summary>

65         /// <returns>系统标准的单精度浮点数字</returns>

66         public Single ToSingle()

67         {

68             Byte b1 = this._data[1];

69             Byte b2 = this._data[0];

70             Byte b3 = this._data[3];

71             Byte b4 = this._data[2];

72 

73             Double s = (b1 & 0x80) >> 7;

74             Double e = ((b1 & 0x7F) << 1) + ((b2 & 0x80) >> 7);

75             Double f = ((b2 & 0x7F) << 16) + (b3 << 8) + b4;

76             Double m = f / VAXSingle.E24;

77 

78             if (e == 0 && s == 0) return 0;

79             if (e == 0 && s == 1) return Single.NaN;

80 

81             return (Single)((s == 0 ? 1.0 : -1.0) * (VAXSingle.MANTISSA_CONSTANT + m) * Math.Pow(VAXSingle.BASE, e - VAXSingle.EXPONENT_BIAS));

82         }

83 

84         /// <summary>

85         /// 获取VAX单精度浮点数据字节数组

86         /// </summary>

87         /// <returns>字节数组</returns>

88         public Byte[] ToArray()

89         {

90             Byte[] data = new Byte[VAXSingle.LENGTH];

91 

92             Array.Copy(this._data, data, VAXSingle.LENGTH);

93 

94             return data;

95         }

96         #endregion

97     }

98 }

View Code

以下是实现IBM浮点字节数组与系统浮点数字相互转化的类：

 1 using System;

 2 

 3 namespace DotMaysWind.Numerics

 4 {

 5     /// <summary>

 6     /// IBM单精度浮点数字

 7     /// </summary>

 8     /// <remarks>

 9     /// SEF         S        EEEEEEE        FFFFFFFF        FFFFFFFF        FFFFFFFF

10     /// bits        1        2     8        9                                      32

11     /// bytes       byte1                   byte2           byte3           byte4

12     /// </remarks>

13     public struct IBMSingle

14     {

15         #region 常量

16         private const Int32 LENGTH = 4;

17         private const Double BASE = 16.0;

18         private const Double EXPONENT_BIAS = 64.0;

19         private const Double E24 = 16777216.0;

20         #endregion

21 

22         #region 字段

23         private Byte[] _data;

24         #endregion

25 

26         #region 构造方法

27         /// <summary>

28         /// 初始化新的IBM单精度浮点数字

29         /// </summary>

30         /// <param name="data">IBM单精度浮点数字字节数组</param>

31         /// <param name="startIndex">数据起始位置</param>

32         public IBMSingle(Byte[] data, Int32 startIndex)

33         {

34             this._data = new Byte[IBMSingle.LENGTH];

35             Array.Copy(data, startIndex, this._data, 0, IBMSingle.LENGTH);

36         }

37 

38         /// <summary>

39         /// 初始化新的IBM单精度浮点数字

40         /// </summary>

41         /// <param name="num">系统标准的单精度浮点数字</param>

42         public IBMSingle(Single num)

43         {

44             Int32 s = (num >= 0 ? 0 : 1);

45 

46             Double v = Math.Abs(num);

47             Int32 e = (Int32)(Math.Log(v) / Math.Log(2.0) / 4.0 + 1.0 + IBMSingle.EXPONENT_BIAS);

48 

49             Double m = (v / Math.Pow(IBMSingle.BASE, e - IBMSingle.EXPONENT_BIAS));

50             Int32 f = (Int32)(m * IBMSingle.E24);

51 

52             this._data = new Byte[IBMSingle.LENGTH];

53             this._data[3] = (Byte)(s + e);

54             this._data[2] = (Byte)((f & 0x00FF0000) >> 16);

55             this._data[1] = (Byte)((f & 0x0000FF00) >> 8);

56             this._data[0] = (Byte)(f & 0x000000FF);

57         }

58         #endregion

59 

60         #region 方法

61         /// <summary>

62         /// 获取系统标准的单精度浮点数字

63         /// </summary>

64         /// <returns>系统标准的单精度浮点数字</returns>

65         public Single ToSingle()

66         {

67             Byte b1 = this._data[3];

68             Byte b2 = this._data[2];

69             Byte b3 = this._data[1];

70             Byte b4 = this._data[0];

71 

72             Double s = (b1 & 0x80) >> 7;

73             Double e = (b1 & 0x7F);

74             Double f = (b2 << 16) + (b3 << 8) + b4;

75             Double m = f / IBMSingle.E24;

76 

77             if (e == 0 && f == 0 && s == 0) return 0;

78 

79             return (Single)((s == 0 ? 1.0 : -1.0) * m * Math.Pow(IBMSingle.BASE, e - IBMSingle.EXPONENT_BIAS));

80         }

81 

82         /// <summary>

83         /// 获取IBM单精度浮点数据字节数组

84         /// </summary>

85         /// <returns>字节数组</returns>

86         public Byte[] ToArray()

87         {

88             Byte[] data = new Byte[IBMSingle.LENGTH];

89 

90             Array.Copy(this._data, data, IBMSingle.LENGTH);

91 

92             return data;

93         }

94         #endregion

95     }

96 }

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【三、双精度浮点数的处理】

双精度浮点数与单精度浮点数类似，只不过会扩大阶码和尾数的范围罢了。对于IEEE754的双精度浮点而言，不仅尾数的位数增加，还会增加阶码的尾数，字节存储如下：

SEF    S     EEEEEEE EEEE  FFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF

bits   1     2          12 13                                                       64

bytes  byte1         byte2      byte3    byte4    byte5    byte6    byte7    byte8

可见，其阶码增加了3位，即最大值是原来翻了3翻，为1024。而为了保证能表示无穷值，所以B为1023。除此之外只需要多读取后边增加的尾数即可，步骤与单精度基本相同。

而对于VAX和IBM的双精度浮点，更是没有扩大阶码的范围，而只是扩大了尾数的范围，使得只要多读取增加的4位尾数即可，而常数A、B、C更是无需修改。两者字节存储如下：

VAX双精度浮点：

SEF    S     EEEEEEEE     FFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF

bits   1     2      9     10                                                          64

bytes  byte2        byte3         byte0    byte1    byte6    byte7    byte4    byte5

IBM双精度浮点：

SEF    S     EEEEEEE  FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF FFFFFFFF

bits   1     2     8  9                                                            64

bytes  byte1          byte2    byte3    byte4    byte5    byte6    byte7    byte8

 

【相关链接】

1. Transform between IEEE, IBM or VAX floating point number formats and bytes expressions：http://www.codeproject.com/Articles/12363/Transform-between-IEEE-IBM-or-VAX-floating-point-n
2. VAX F_FLOAT and D_FLOAT to IEEE T_FLOAT and S_FLOAT (double)：http://yaadc.blogspot.com/2013/01/vax-ffloat-and-dfloat-to-ieee-tfloat.html
3. IEEE Arithmetic：http://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_math.html
4. Floating-Point：http://andromeda.rutgers.edu/~dupre/231/lecture13.doc
5. IBM Floating Point Architecture：http://en.wikipedia.org/wiki/IBM_Floating_Point_Architecture
6. VAX floating point to Decimal：http://arstechnica.com/civis/viewtopic.php?f=20&t=171682