信号系统笔记（一）基本概念

0 前言

  想学习无线相关的东西，博客用于个人记笔记，若有问题欢迎纠错；信号与系统课程链接。

1 信号的基本概念与分类

  这部分主要讲信号的分类等基本概念。
  信号分类，按照周期性来分，分为周期信号和非周期信号；按确定性来分，分为确定信号与随机信号；按连续性来分，分为离散信号与连续信号。

1.1 确定信号与随机信号

  确定信号是指可以由函数表示的信号，可以预测；随机信号是指无法用函数表达的信号，无法预测，仅有统计特性。

1.2 离散信号与连续信号

  连续信号与离散信号，若信号值是时间的函数$S(t)$，若函数$S$连续，那么这个信号为连续信号；若函数$S$离散，那么这个信号为离散信号。

1.3 周期信号与非周期信号

  若信号$S(t)$为连续周期信号则有：$S(t+N)=S(t)$，其中N为连续信号S的周期。注意，两个周期信号合成不一定为周期信号，分析如下，若周期信号$S_1$与$S_2$的周期分别为$N_1$、$N_2$，则他们合成信号的周期为$N_1$、$N_2$的最小公倍数，若无最小公倍数（比如$N_1$、$N_2$其中有一个无理数），则为非周期函数。
  离散信号$S(k)$若为周期信号，则有：$S(k+N)=S(t)$，其中N为离散信号S的周期。注意，单个离散信号不一定为周期信号，例：有离散信号$S(k)=sin(\beta k)$，则有：
$$\begin{array}{rl}S(k)& =sin(\beta k)\\ & =sin(\beta k+2\pi )\\ & =sin(\beta (k+\frac{2\pi }{\beta }))\end{array}$$
其中$\frac{2\pi }{\beta }$决定了离散信号$S(k)$的周期，若$\frac{2\pi }{\beta }$为整数，则周期就为$\frac{2\pi }{\beta }$；若$\frac{2\pi }{\beta }$为有理数，则周期为$\frac{2\pi }{\beta }M$，$M$为使得$\frac{2\pi }{\beta }$成为整数的最小有理数。若$\frac{2\pi }{\beta }$为无理数，则该离散信号无周期。两个周期序列合成必然是周期序列。

1.4 能量信号与功率信号

  连续信号$u(t)$的能量为：$E(t)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{|u(t)|}^2\mathrm{d}t$，平均功率为$P(t)={\lim }_{T\to \infty }\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|u(t)|\mathrm{d}t$；
  能量信号：信号的能量$E<\infty$，则信号的平均功率为0；（因为根据平均功率的定义式子，分子是能量，小于无穷大，分母为无穷大，取极限得到的值为0）；
  功率信号：信号功率$P<\infty$，则信号的能量为$\infty$；（因为根据平均功率定义来看，极限的分子若为任意常数，则功率为0，极限的分子为无穷大平均功率才为常数值，而常数值小于无穷大）
  离散信号$u(k)$的能量为：$E(k)={\sum }_{-\infty }^{\infty }{u(k)}^2$，平均功率为$P(k)={\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{N}{\sum }_{-\frac{N}{2}}^{\frac{N}{2}}{u(k)}^2$。
  离散能量信号：序列的能量$E<\infty$，则信号的功率为0；
  离散功率信号：序列的功率$P<\infty$，则信号的能量为无穷大；
时限信号是能量信号，周期信号是功率信号；非周期信号既可以是能量信号也可以是功率信号。
  另外还有因果信号和非因果信号，因果信号是在时间$t=0$之后才出现的信号，非因果信号是在时间$t=0$之前才出现的信号。

1.5 阶跃函数与冲激函数

1.5.1 单位阶跃函数

  单位阶跃函数$\epsilon (t)$的定义如下：
$$\epsilon (t)=\{\begin{array}{rlrlr}1& & & & t>0\\ 0& & & & t<0\end{array}$$

1.5.2 单位冲激函数

  冲激函数定义如下：
$$\{\begin{array}{rlrlr}\delta (t)=0& & & & t\ne 0\\ {\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)\mathrm{d}t=1& & & & \end{array}$$
  可以理解为高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。
  阶跃函数的导数为冲激函数，即：$\delta (t)=\frac{\mathrm{d}\epsilon (t)}{\mathrm{d}t}$。
  冲激函数的广义函数定义如下：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)\varphi (t)\mathrm{d}t=\varphi (0)$$
即任何函数与单位冲激函数相乘的积分都为该函数在$0$处的取值。
  冲激函数的取样性质：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (t)\varphi (t-a)\mathrm{d}t=\varphi (a)$$
  冲激函数的导数，冲激函数的一阶导数如下所示：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t){\delta }^{\prime }(t)\mathrm{d}t=-f^{\prime }(0)$$
推广：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t-a){\delta }^{\prime }(t-a)\mathrm{d}t=-f^{\prime }(a)$$
  冲激函数的n阶导数，冲激函数的$n$阶导数如下：
$${\int }_{-\infty }^{\infty }f(t){\delta }^{(n)}(t)\mathrm{d}t=(-1{)}^n{f}^{(n)}(0)$$
  冲激函数的尺度变化：
$$\delta (at)=\frac{1}{|a|}\delta (t)$$
  冲激函数的n阶导数的尺度变化：
$${\delta }^n(at)=\frac{1}{|a|}\frac{1}{a^n}{\delta }^n(t)$$

1.6 单位阶跃序列与单位冲激序列

  单位阶跃序列跟单位冲激序列是离散的序列，分别对应连续信号中的阶跃函数跟冲激函数。

1.6.1 单位阶跃序列

  单位阶跃序列的定义如下：
$$\epsilon (k)=\{\begin{array}{rlrlr}1& & & & k\ge 0\\ 0& & & & k<0\end{array}$$

1.6.2 单位冲激序列

  单位冲激序列定义如下：
$$\delta (k)=\{\begin{array}{rlrlr}1& & & & k=0\\ 0& & & & k\ne 0\end{array}$$
单位冲激序列与单位阶跃序列的关系：
$$\delta (k)=\epsilon (k)-\epsilon (k-1)$$
$$\epsilon (k)=\sum _{i=0}^{\infty }\delta (k-i)$$
或者：
$$\epsilon (k)=\sum _{-\infty }^k\delta (k)$$
  单位冲激序列的取样性质：
$$\delta (k)f(k)=f(0)\delta (k)$$
$$\sum _{-\infty }^{\infty }\delta (k)f(k)=f(0)$$

1.7 信号的运算

  除离散信号没有信号的吃端变化之外，其余信号的运算在离散信号与连续信号上都成立。

1.7.1 信号的加减乘运算

  信号可以加减乘，加减就是函数/序列对应自变量值的信号值相加减得到的新信号，乘也是对应自变量值想乘得到的新信号。

1.7.2 信号的反转

  信号的反转就是：$f(t)\to f(-t)$的变化。

1.7.3 信号的平移

  信号的平移相当于信号在$x$轴左右平移，具体规则为左加右减，即向左移动自变量增加，如：$t\to t+1$，则表明信号向左移动了$1$。向右移动，自变量减小，如：$t\to t-1$，则表明信号向右移动了$1$；

1.7.4 信号的尺度变化

  信号有压缩和展开两种变化，$t\to at$，若$0<a<1$，则信号为展开变化；若$a>1$，则信号为压缩变化；注意：离散信号没有尺度变化。

1.8 系统的概念与分类

  作为一个计算机相关专业的小伙子，理解系统的概念可以用编程里的函数/方法的来理解。系统分为输入（激励）跟输出（响应），从而实现一种功能。这类似于函数的输入变量跟返回值。也可以用数学上的函数来理解或表示，如：$y=f(t)$，$t$为输入（激励），$y$为输出（响应）。
  一般系统分为线性系统与非线性系统、时变系统与时不变系统、因果系统与非因果系统。
  除此之外，动态系统的响应不仅与激励$\{f(.)\}（.既可以为离散信号又可以为连续信号）$有关，而且与过去的状态$\{x(0)\}$有关，含有记忆原件（电容、电感等）的系统是动态系统。否则称及时系统或无记忆系统。
  以下是几种响应类型：
  全响应：$y(.)=T[\{f(.)\},\{x(0)\}]$，既有状态又有激励；
  零状态响应：$y_{zs}(.)=T[\{f(.)\},\{0\}]$，只有输入无状态；
  零输入响应：$y_{zs}(.)=T[\{0\},\{x(0)\}]$，只有状态无输入；

1.8.1 线性系统与非线性系统

凯k,jcc  线性系统具有齐次性：$a{f}_1\to a{y}_1$，可加性：$f_1\to y_1,f_2\to y_2,则有：f_1+f_2\to y_1+y_2$.
  当动态系统满足下列三个条件时，该系统成为线性系统：
  1、可分解性：
$$y(.)=y_{zs}(.)+y_{zi}(.)$$
  2、零状态线性：
$$T[\{a{f}_1(.)+b{f}_2(.)\},\{0\}]=aT[f_1(.),\{0\}]+bT[f_2(.),\{0\}]$$
  3、零输入响应：
$$T[\{0\},\{a{x}_1(0)+b{x}_2(0)\}]=aT[\{0\},\{a{x}_1(0)\}]+bT[\{0\},\{a{x}_1(0)\}]$$

1.8.2 时变系统与时不变系统

  时不变性：$f(t-t_d)\to y_{zs}(t-t_d)$，即：$T[\{0\},f(t-t_d)]=y_{zs}(t-t_d)$；
  ps：这个教程视频主要讲线性时不变系统（Linear Time-Invariant），简称LTI系统。

1.8.3 因果与非因果系统

  因果系统 是指 零状态响应不会出现在激励之前的系统。
  以下是因果系统：
$$y_{zs}(t)=3f(t-1)$$
$$y_{zs}(t)={\int }_{-\infty }^{t}f(x)\mathrm{d}x$$
  以下是非因果系统：
  $y_{zs}(t)=2f(t+1)$，令$t=1$时，有$y_{zs}(t)=2f(2)$；
  $y_{zs}(t)=f(2t)$，令$t=1$时，有$y_{zs}(t)=f(2)$；