数字图像处理笔记——频域滤波、采样和频谱混叠（ Frequency domain filtering; sampling and aliasing）

频域滤波

频域滤波就是将信号先做傅里叶变换再与滤波器频域响应相乘，最后再做傅里叶反变换得到

低通滤波器

让我们先来看看理想低通滤波器，理想低通滤波器的频率响应是一个中间是1，周围是0的正方形或圆形，而在时域上是sinc函数，，我们看经过低通滤波器后的图像变得模糊了，但是会发现图中多了很多波纹，原因就是理想低通滤波器在时域上的图像并不是理想的，而是有旁瓣。我们知道频域缩窄对于时域展宽，因此如果理想滤波器的通带很小，图像会变得更模糊，相应的也会有很多波纹；因此我们可以通过增大通带的方式来减小时域的波动。

                                                   时域

、

                                                                  频域

                                                 滤波后图像的纹波现象

除了以上提到的方法，我们还可以选择更简单的时域函数，例如之前博客提到的ones(3)/9滤波器，我们来看看它的频域相应，我们看到它在频域上出现了波动。

由此，我们可以在时域波动和时域波动上找到一个平衡点：也就是高斯滤波器。它在时域和频域上都满足高斯分布

高通滤波器

高通滤波器也是类似，我们可以用全通滤波器减去低通滤波器得到

对于高通滤波器处理过的图像，我们得到的是图像的边缘，也就是高频的部分，同样由于滤波器时域上的波动，我们可以看到图像中存在波纹

我们如果分析一下之前提到的拉普拉斯算子，并对它做傅里叶变换，我们可以很容易得到它的频率响应，也就是一个抛物面

 

采样和频谱混叠

与一维情况类似，对于一幅图像我们也需要满足奈切斯特采样定理，不然的话会出现频谱混叠导致失真。举一个例子就是如下的棋盘，如果我们用每个方块采样一次的方式进行采样那将不会产生失真，如果每两个方块采样一次那我们将只能得到黑色，白色的信息就完全丢失了

抗锯齿

图像中锯齿现象的出现就是一个采样点过少的例子，但我们抗锯齿的方法并不是对图像进行重新采样，事实上我们在用相机拍摄的情况下采样率往往已经固定了（CCD之间的间隔），而采样率很多时候是我们无法修改的，因此我们能做的是对一副图像进行模糊处理后再下采样来解决解决这个问题

如果我们从频域上来看就是个加窗的过程，这样虽然会丢失一部分信息，但是不会产生频谱混叠现象

举个例子就是我们对图像每四个点进行一次采样，我们可以看到本来平行的条纹变得不再平行，原因就是产生了频谱混叠

如果我们先对图像进行模糊处理（低通滤波）后再下采样就不会产生这个问题了，但图像也丢失了很多细节

在游戏中我们经常看到的几倍抗锯齿用的是什么技术呢？实际就是我们先生成所需图像N倍大（N倍抗锯齿）的图像，然后取N×N方块内的平均值（低通滤波）作为低分辨率图像的值。如果我们从频域上理解这个过程，现实生活中所有的图像其实都是连续的，但是我们只能获取到离散的点，因此这是一个采样的过程，这个过程中必定产生频谱的混叠，而混叠的多少取决于采样率，因此我们可以先提高采样率，即生成一幅分辨率更高的图像来减少混叠，再通过低通滤波器来控制通带，最后再下采样将频谱展宽，得到我们想要的分辨率，由于我们刚才通过了低通滤波器，因此不会产生混叠现象

最后我们来看看摩尔纹，摩尔纹就是我们用手机相机对着电脑屏幕的时候会产生的纹路，原因是相机的感光元件和显示器相互影响产生的。我们把下图的竖直的格子看做感光元件，感光点在竖线交叉处，斜的格子看做显示器。那么当二者交叉的时候我们会发现有的点落在空白处（即显示器亮的位置），有的点落在线上（显示器暗的位置），这样一来在空间上就会出现有规律的交叉条纹了。而从频域上看这就是由于采样率低导致的频谱混叠的结果。上面那幅竖直条纹变成特殊的花纹实际上也是摩尔纹的例子