大话数据结构学习笔记 - 图

大话数据结构学习笔记 - 图

图的定义

图(Graph)是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为: G(V,E) G ( V , E ) ​ ， 其中G表示一个图， V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合

• 数据元素在线性表中被称为元素，在树中被称为结点，而在图中被称为顶点(Vertext)
• 顶点集合V有穷非空
• 图中顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以为空

各种图定义

• 无向边：若顶点 vi v i 到 vj v j 之间的边没有方向，则称这条边为无向边(Edge)， 用无序偶对( vi,vj v i , v j )来表示
• 无向图：若图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则为无向图(Undirected graphs)
• 有向边：若从顶点 vi v i 到 vj v j 之间的边有方向，则称这条边为有向边，也成为弧(Arc)，用有序偶 <vi,vj> < v i , v j > 表示， vi v i 称为弧尾， vj v j 称为弧头
• 有向边：如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图(Directed graphs)
• 无向边用小括号()表示，有向边用尖括号<>
• 简单图：不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，这样的图为简单图
• 无向完全图：任意两个顶点都存在边的无向图。 含有n个顶点的无向完全图有 n(n−1)2 n ( n − 1 ) 2 条边
• 有向完全图：任意两个顶点之间存在互为相反的两条弧的有向图。含有n个顶点的有向完全图有 n(n−1) n ( n − 1 ) 条边
• 稀疏图：有很少条边或弧的图称为稀疏图，反之为稠密图
• 权(Weight)：与图的边或弧相关的数叫做权
• 网(Network)：带权的图统称为网
• 子图(Subgraph)：假设有两个图 G=(V,{E}) G = ( V , { E } ) 和 G′=(V′,{E′}) G ′ = ( V ′ , { E ′ } ) , 如果 V′⊆V V ′ ⊆ V 且 E′⊆E E ′ ⊆ E ， 则称 G′ G ′ 为 G G 的子图

图的顶点与边间关系

• 无向图的邻接点(Adjacent)：对于无向图 G=(V,{E}) G = ( V , { E } ) ， 如果边 (v,v′)∈E ( v , v ′ ) ∈ E ， 则称顶点 v v 和 v′ v ′ 互为邻接点。即 v v 和 v′ v ′ 相邻接。边 (v,v′) ( v , v ′ ) 依附于顶点 v v 和 v′ v ′ ，或者说 (v,v′) ( v , v ′ ) 与顶点 v v 和 v′ v ′ 相关联

• 无向图的度(Degree)：顶点v的度是和v相关联的边的数目， 记为 TD(v) T D ( v )

• 有向图的邻接： 对于有向图 G=(V,{E}) G = ( V , { E } ) ，如果弧 <v,v′>∈E < v , v ′ >∈ E ， 则称顶点v邻接到顶点 v′ v ′ , 顶点 v′ v ′ 邻接自顶点 v v 。弧 <v,v′> < v , v ′ > 和顶点 v,v′ v , v ′ 相关联.

• 有向图的入度(InDegree)：以顶点v为头的弧的数目称为v的入度， 记为 ID(v) I D ( v )
• 有向图的出度(OutDegree)：以顶点v为尾的弧的数目称为v的出度 ， 记为 OD(v) O D ( v )
• 有向图的度： 顶点v的度为 TD(v)=ID(v)+OD(v) T D ( v ) = I D ( v ) + O D ( v )
• 回路或环(Cycle)：第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或环
• 简单路径：序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径
• 简单回路或简单环：除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环

连通图相关术语

• 连通图(Connected Graph)：在无向图 G G 中，如果从顶点 v v 到顶点 v′ v ′ 有路径，则称 v v 和 v′ v ′ 是连通的。如果对于图中任意两个顶点 vi,vj∈E v i , v j ∈ E ， vi v i 和 vj v j 都是连通的， 则称 G G 是连通图
• 连通分量：无向图中的极大连通子图称为连通分量
• 强连通图： 在有向图 G G 中，如果对于每一对 vi,vj∈V,vi≠vj v i , v j ∈ V , v i ≠ v j ， 从 vi v i 到 vj v j 和从 vj v j 到 vi v i 都存在路径，则称 G G 是强连通图。
• 强连通分量：有向图中的极大强连通子图称作有向图的强连通分量
• 生成树：一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的n个顶点，但只有足以构成一棵树的n - 1条边
• 有向树：如果一个有向图恰有一个顶点的入度为0， 其余顶点的入度均为1， 则是一棵有向树

图的抽象类型

ADT 图(Graph)
Data
    顶点的有穷非空集合和边的集合
Operation
    CreateGraph(*G, V, VR)：按照顶点集 V 和边弧集 VR 的定义构造图 G
    DestroyGraph(*G)：图 G 存在则销毁
    LocateVex(G, u)：若图 G 中存在顶点 u， 则返回图中的位置
    GetVex(G, v)：返回图 G 中顶点 v 的值
    PutVex(G, v, value)：将图 G 中顶点 v 赋值 value
    FirstAdjVex(G, *v)：返回顶点 v 的一个邻接顶点， 若顶点在 G 中无邻接顶点返回空
    NextAdjVex(G, v, *w)：返回顶点 v 相对于顶点 w 的下一个邻接顶点，若 w 是 v 的最后一个邻接点则返                            回空
    InsertVex(*G, v)：在图 G 中增添新节点 v
    DeleteVex(*G, v)：删除图 G 中顶点 v 及其相关的弧
    InsertArc(*G, v, w)：在图 G 中增点弧 ， 若 G 是无向图，还需要增添对称弧 。
    DeleteArc(*G, v, w)：在图 G 中删除弧 ，若 G 是无向图，则还需要删除对称弧 。
    DFSTraverse(G)：对图 G 中进行深度优先遍历，在遍历过程对每个顶点调用
    HFSTraverse(G)：对图 G 中进行广度优先遍历，在遍历过程对每个顶点调用
endADT

图的存储结构

对于图的存储结构，简单的顺序存储结构以及多重链表都无法使用，最常用的是 邻接矩阵 和 邻接表

邻接矩阵

图的邻接矩阵(Adjacency Matrix)存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组(称为邻接矩阵)存储图中的边或弧的信息

设图中G有n个顶点，则邻接矩阵是一个 n∗n n ∗ n 的方阵，定义为

• 无向图邻接矩阵示意图

  

• 有向图邻接矩阵示意图

  

邻接矩阵的缺点是对于边数相对顶点较少的图，比较浪费存储空间

• 图的邻接矩阵存储结构

  typedef char VertexType;  /* 顶点类型 */
  typedef int EdgeType;     /* 边上的权值类型 */
  
  #define MAXVEX 100        /* 最大顶点数 */
  
  
  #define INFINITY 65535    /* 65535 代表无限大 */
  
  typedef struct
  {
    VertexType vexs[MAXVEX];  /* 顶点表 */
      EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];  /* 邻接矩阵， 可看做边表 */
      int numVertexes, numEdges;     /* 图中当前的顶点数和边数 */
  }MGraph;

• 无向网图的邻接矩阵表示建立

  /* 无向网图的邻接矩阵表示 */
  void CreateMGraph(MGraph *G)
  {
    int i, j, k, w;
      printf("输入顶点数和边数:\n");
      scanf("%d,%d", &G->numVertexes, &G->numEdges);  /* 输入顶点数和边数 */
      for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)  /* 输入顶点信息，建立顶点表 */
          scanf("%d", &G->vecs[i]);
      for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)
          for(j = 0; j < G->numVertexes; j++)
              G->arc[i][j] = INFINITY;  /* 邻接矩阵初始化 */
      for(k = 0; k < G->numEdges; k++)  /* 读入 numEdges 条边，建立邻接矩阵 */
    {
        printf("输入边(vi, vj)上的下标i, 下标j 和权 w:\n");
          scanf("%d,%d,%d", &i, &j, &w);  /* 输入变(vi, vj)上的权 w */
          G->arc[i][j] = w;
          G->arc[j][i] = G->arc[i][j];  /* 因为是无向图，矩阵对称 */
    }
  }

链接表

邻接表(Adjacencty List)是图的一种链式存储，并且将数组与链表相结合的表示方法。即图中顶点用一维数组存储，每个顶点的所有邻接点用链表存储

• 无向图的邻接表结构示意图

  • 方便查找某个顶点的度，只需要查找顶点的边表中结点的个数
  • 判断两定点是否存在边，只需要测试一顶点的边表中是否存在另一节点的下标即可
  • 求某顶点的所有邻接点，只需要遍历边表即可

  

• 有向图的邻接表结构示意图

  • 方便得到每个顶点的出度，若想得到入度，可建立逆邻接表。

  

• 图的邻接表存储结构

  typedef char VertexType;  /* 顶点类型 */
  typedef int EdgeType;  /* 边上的权值类型 */
  
  typedef struct EdgeNode
  {
    int adjtex;  /* 邻接点域，存储该顶点对应的下标 */
      EdgeType weight;  /* 用于存储权值，对于非网图可以不需要 */
      struct EdgeNode *next;  /* 链域，指向下一个邻接点 */
  }EdgeNode;
  
  typedef struct VertexNode
  {
    VertexType data;
      EdgeNode *firstedge;
  }VertexNode, AdjList[MAXTEX];
  
  typedef struct
  {
    AdjList adjList;
      int numVertexes, numEdges;
  }GraphAdjList;

• 建立图的邻接表结构

  /* 建立图的邻接表结构 */
  void CreateALGraph(GraphAdjList *G)
  {
    int i, j, k;
      EdgeNode *e;
      printf("输入顶点数和边数:\n");
      scanf("%d,%d", &G->numVertexes, &G->numEdges);  /* 输入顶点数和边数 */
      for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)  /* 输入顶点信息，建立顶点表 */
    {
        scanf(&G->adjList[i].data);  /* 输入顶点信息 */
          G->adjList[i].firstedge = NULL;  /* 将边表置为空表 */
    }
      for(k = 0; k < G->numEdges; k++)  /* 建立边表 */
    {
          printf("输入边(vi,vj)上的顶点序号:\n");
          scanf("%d,%d", &i, &j);  /* 输入边(vi,vj)上的顶点序号 */
        e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));  /* 向内存申请空间,生成边表结点 */
          e->adjtex = j;  /* 邻接序号为 j */
          e.next = G->adjList[i].firstedge;  /* 将 e 指针指向当前顶点指向的结点 */
          G->adjList[i].firstedge = e;  /* 将当前顶点的指针指向 e */
  
          e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));  * 向内存申请空间,生成边表结点 */
          e->adjnext = i;  /* 邻接序号为 i */
          e->next = G->adjList[j].firstedge;  /* 将 e 指针指向当前顶点指向的结点 */
          G->adjList[j].firstedge = e;  /* 将当前顶点的指针指向 e */
    } 
  }

结语

后续会继续整理图的相关知识，本文章的代码code