傅里叶变换、Gabor变换、小波变换学习笔记

原文：https://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/42028587

傅里叶变换

        傅里叶变换 详解：https://blog.csdn.net/l494926429/article/details/51818012/

        傅里叶变换缺点： 即Fourier变换不具有局部性。它只适用于确定性信号及平稳信号，由于缺乏时间的局部信息，对时变信号、非平稳信号，Fourier频率分析存在严重不足，它无法告知某些频率成分发生在哪些时间内，无法表示某个时刻信号频谱的分布情况。信号在某时刻的一个小的邻域内发生变化，那么信号的整个频谱都要受到影响，而频谱的变化从根本上来说无法标定发生变化的时间位置和发生变化的剧烈程度。傅里叶变换的时域和频域是完全分割开来的。

Gabor变换

        Gabor变换可以达到时频局部化的目的：它能够在整体上提供信号的全部信息而又能提供在任一局部时间内信号变化剧烈程度的信息。简言之，可以同时提供时域和频域局部化的信息。

        缺点： Gabor变换在一定程度上解决了局部分析的问题，但对于突变信号和非平稳信号仍难以得到满意的结果，即Gabor变换仍存在着较严重的缺陷。1）Gabor变换的时频窗口大小、形状不变，只有位置变化，而实际应用中常常希望时频窗口的大小、形状要随频率的变化而变化，因为信号的频率与周期成反比，对高频部分希望能给出相对较窄的时间窗口，以提高分辨率，在低频部分则希望能给出相对较宽的时间窗口，以保证信息的完整性，总之是希望能给出能够调节的时频窗；2）Gabor变换基函数不能成为正交系，因此为了不丢失信息，在信号分析或数值计算时必须采用非正交的冗余基，这就增加了不必要的计算量和存储量。

 小波变换

        小波变换继承和发展了Gabor变换的局部化思想，同时克服了傅里叶变换和Gabor变换的一些缺陷。最重要的是小波变换给出了一个可以调节的时频窗口，窗口的宽度随频率变化，频率增高时时间窗口的宽度自动变窄，以提高分辨率，“采用小波分析，就像使用一架可变焦距镜头的照相机一样，可以转向任一细节部分”。

        小波变换相比于STFT，优点是明显的：1）由于小波母函数ψ_a,b(t)相当于窗函数，但其窗宽是可变的，较好地解决了时间分辨率和频率分辨率的矛盾，其变化规律使得小波变换具有优良的局部化特性，对分析突变信号和奇异信号非常有效，充分体现了常相对带宽频率分析和自适应分析的思想；2）小波变换能将各种交织在一起的由不同频率组成的混合信号分解成不同频率的信号，并对频率大小不同的信号采用相应粗细的时空域取样步长，从而能够不断聚焦到对象的任意微小细节，对时变信号的频谱分析意义重大。3）并不要求小波变换基底是正交的，其时宽频宽乘积较小，因而展开系数的能量较为集中。

总结

        比较一下小波变换、伽柏变换、傅里叶变换可以发现：傅里叶变换不具有局部性；伽柏变换有局部性，但有一些缺点（如前所述）；而小波变换不但具有局部性，而且尺度参数a可以改变频谱结构和窗口的形状，起到“变焦”的作用，因此小波分析可能达到多分辨率分析的效果（小变波换被誉为数学显微镜）。从信号分析方法的理论发展过程可能看出：傅里叶分析特别适合分析长时间内较稳定的信号；STFT也有其一定的应用场合，但其效果取决于适当地选取窗函数；小波分析特别适合分析突变信号和奇异信号。