【Python金融量化】VaR系列（五）：Copula模型估计组合VaR

1. 资产组合VaR建模方法回顾

文章中总结了通过DCC模型估计组合向前一日VaR的方法，整体思路如下：

 ●  通过Garch族模型估计各资产的波动率
 ●  通过DCC模型估计各资产间的相关系数，结合1得到资产组合的协方差矩阵
 ●  在各资产正态性假设的前提下，可以知道资产组合也服从正态分布，并且均值与协方差阵已在1,2中计算得到
 ●  在已知组合中各但资产权重w的情况下，根据下式计算组合VaR

文章中总结了通过蒙特卡洛方法估计组合向前K日VaR的方法，也可以仅计算组合向前一日VaR（本文只考虑向前1日的情况），文章中也对比了蒙特卡洛方法与DCC方法得到的结果，差异并不大。蒙特卡洛方法的思路如下：

 ●  根据Garch族模型估计资产的波动率
 ●  根据DCC模型估计组合的相关系数
 ●  在1,2的基础上，在正态性假设前提下，得到组合的分布函数，对组合收益率进行模拟，在给定各资产权重w的情况下，可以得到组合的总收益
 ●  重复1-3若干次，可以得到组合总收益的模拟序列，类似HS方法，取p分位数即可

可以看出不论是DCC模型还是蒙特卡洛方法，都是在正态性假设的前提下，得到组合的分布函数再进行求解。事实上，也可以类比多元正态的概念构建多元t分布和多元渐进t分布，假设组合服从这样的分布，求出分布的参数后，再用蒙特卡洛方法进行模拟，这些理论依据已经很成熟，推导过程见文献[1]，这里不再赘述。

但需要说明的是，多元t分布和多元渐近t分布都没有边际分布和线性组合依然多元t或者多元渐近t的性质。回忆多元正态的情况下，为了生成多元正态随机数，实际上是先产生不相关的n组一元正态随机数向量，然后通过cholesky分解转换为符合给定相关系数矩阵的组合收益率模拟序列。如果组合的分布不具有类似多元正态的性质，要根据分布函数模拟组合收益就比较困难，必须直接通过多元分布函数产生随机数，不能分解成单个资产去做，虽然也有相关的方法可以生成给定分布函数下随机数，但都比较麻烦，这是之前方法的一个局限性。

此外，多元正态假设所有的单个资产都是正态分布，多元t分布和多元渐近t分布的边际分布并非t分布或者渐近t分布，而不同的资产可能服从不同的分布，需要用不同方法去建模，已有的多元分布都不能满足这一条件，这是之前方法的另一局限性。

比较理想的状态是，我们可以用不同的方法对不同的单资产进行建模，最终n各资产具有不同的分布函数

这种情况下，如果可以找到一个连接函数G，通过这n个边际分布得到组合的分布F，就可以解决上面所说的两种局限。

这也正是本文总结的Copula模型的逻辑。

2.Copula模型

Sklar定理

Copula模型整体来说比较复杂，这里只对关键的部分加以说明，模型中最重要的定理是Sklar定理，也就是上面所说的理想情况，具体叙述如下

G称为copula CDF，在sklar定义的假设下，如果我们已经通过一些单变量模型得到了单资产的分布函数，只需要确定出copula函数G，就相当于知道了组合的分布函数，从而把估计组合分布函数的问题转化为估计copula函数的问题。当然copula函数也不是靠猜，有一些常用的copula函数可以选择，在确定了copula函数之后，可以通过MLE等方法估计参数。

参数估计（MLE）

这里的C就是上文的G，见参考文献[2]，二元情况下，可以细分为

其中，序号1称为Gumbel Copula函数，序号2称为Clayton Copula函数，序号3称为Frank Copula函数，之所以说明这三个，是因为这三个实际应用中比较多，python的copulalib包中也只提供这三种方法，不过本文并未尝试这几种方法，有兴趣的可以自己尝试下。

VaR估计思路

从之前的叙述中可以看出，通过copula函数得到的组合分布函数没有非常好的解析表达式，所以直接通过定义计算VaR的方法行不通，一般采取与蒙特卡洛方法相结合的方式，生成给定copula函数下的随机数，模拟资产组合的收益序列，再根据组合权重得到组合总收益，重复若干次，取p分位数。

随机数构造

使用蒙特卡洛方法的难点在于生成给定copula函数下的随机数，需要用到Nelsen定理，详见参考文献[2]

用Nelson定理构造随机数的方法如下

看了下copulib的源码，就是用这种方法构造的。而如果是多元正态copula或者多元t-copula的话， 有更简便的方法。以二元为例，可以往更高维推广

服从二元正态，可以直接模拟，然后再用标准正态分布函数作用，就可以得到符合给定多元正态copula的随机数，多元t-copula分布类似。

在得到符合给定copula分布的随机数u后，根据单个资产的分布F，可以得到单资产对应的随机数z

随后可以根据权重计算组合收益进而估计VaR。

综上，可以将Copula函数估计VaR的过程总结如下

选择copula函数，估计参数

第一步：根据单变量模型对所有单资产进行建模，估计分布函数F；

第二步：根据所有的分布函数F和给定copula函数，最大化对数似然函数估计参数；

蒙特卡洛模拟估计VaR

第一步：生成符合copula函数的随机数;

第二步：通过随机数得到各资产收益的模拟序列；

第三步：根据各资产权重得到组合收益序列，取p分位数作为VaR估计值

3.实证分析

数据：S&P500、US 10yr T-Note Fixed Term（同上一篇）

区间：2001-2010

蒙特卡洛模拟次数：10000次

数据和代码在后台回复“VaR5”获取

仅估计最后一天的VaR。代码中未给出太多注释，可以参见文献[1]第九章习题。

前两道题首先通过threshold correlation说明正态性假设并不符合实际，threshold correlation定义如下，r(p)表示r的p分位数

结果如下

蓝色线为真实收益序列的threshold correlation，红色为标准正态的，如果将真实收益序列转化为标准收益，结果如下

可以看出，二者相差很大，说明用多元正态进行建模并不符合实际。

1 def getThre_cor(data,column1,column2,p):

2 cor = pd.DataFrame(p,columns = [ 'p' ])

3 cor[ 'thre_cor' ] = 0

4 for i in range(cor.shape[ 0 ]):

5 if p[i] <= 0.5 :

6 condition1 = (data[column1] <= np.percentile(data[column1],p[i]* 100 ))

7 condition2 = (data[column2] <= np.percentile(data[column2],p[i]* 100 ))

8 else :

9 condition1 = (data[column1] > np.percentile(data[column1],p[i]* 100 ))

10 condition2 = (data[column2] > np.percentile(data[column2],p[i]* 100 ))

11 datas = data.loc[condition1 & condition2,:]

12 cor.loc[i, 'thre_cor' ] = np.corrcoef(datas[column1],datas[column2])[ 0 , 1 ]

13 return cor

14

15 def Thre_cor_norm(num,rou):

16 np.random.seed( 52 )

17 data = pd.DataFrame(index = range(num))

18 data[ 'r1' ] = np.random.normal(size=(num, 1 ))

19 data[ 'r2' ] = np.random.normal(size=(num, 1 ))

20

21 data[ 'r1_c' ] = data[ 'r1' ]

22 data[ 'r2_c' ] = data.r1*rou + data.r2*( 1 - rou** 2 )** 0.5

23 return data

24

25 p = np.arange( 0.15 , 0.90 , 0.05 )

26 rou = np.corrcoef(data1.Log_Return_SP,data1.Log_Return_US)[ 0 , 1 ]

27 data_norm = Thre_cor_norm( 30000 ,rou)

28 cor_norm = getThre_cor(data_norm, 'r1_c' , 'r2_c' ,p)

29

30 p = np.arange( 0.15 , 0.86 , 0.01 )

31 cor = getThre_cor(data1, 'Log_Return_SP' , 'Log_Return_US' ,p)

32 ax = plt.figure(figsize=( 10 , 5 ))

33 plt.plot(cor.p,cor.thre_cor,linewidth = 2 )

34 plt.plot(cor_norm.p,cor_norm.thre_cor,linewidth = 2 ,color = 'red' )

35 plt.grid()

36 plt.show()

第三道题为用t-garch分别对两个单资产进行建模，估计参数d，不再说明；

第四道题为用第三问的结果建立二元正态copula模型，估计组合VaR,过程前面已经说明，代码如下

估计copula函数的参数

1 def getNegativeLoglikelihood_copula(rou,r):

2 LogLikeLihood = -r.shape[ 0 ]*np.log( 1 - rou** 2 )/ 2 - ((r.norm1** 2 +r.norm2** 2 - 2 *rou*r.norm1*r.norm2)/( 2 *( 1 - rou** 2 )) -

3 0.5 *(r.norm1** 2 + r.norm2** 2 )).sum()

4 return -LogLikeLihood

5

6 rou_best = optimize.fmin(getNegativeLoglikelihood_copula,rou0, \

7 args=(copula_data,),ftol = 0.000000001 )

8 print( '估计结果为：' ,rou_best)

模拟

1 data4[ 'u1c' ] = data4[ 'u1' ]

2 data4[ 'u2c' ] = data4.u1*rou + data4.u2*( 1 - rou** 2 )** 0.5

3 data4[ 'F1' ] = norm( 0 , 1 ).cdf(data4[ 'u1c' ])

4 data4[ 'F2' ] = norm( 0 , 1 ).cdf(data4[ 'u2c' ])

5 data4[ 'z1' ] = t(d_SP).ppf(data4.F1)*((d_SP -2 )/d_SP)** 0.5

6 data4[ 'z2' ] = t(d_US).ppf(data4.F2)*((d_US -2 )/d_US)** 0.5

7 data4[ 'R1' ] = data4.z1*sigma_SP** 0.5

8 data4[ 'R2' ] = data4.z2*sigma_US** 0.5

9 data4[ 'R' ] = 0.5 *data4.R1 + 0.5 * data4.R2

10 VaR = -np.percentile(data4.R, 1 )

最终估计结果为VaR = 0.0101，可以与上篇文章最后一日的结果相对比，基本上是一致的。

原文发布时间为：2018-10-1

本文作者：量化小白H

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