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[STAT-157] ModelSelect, dropout, bp

课程Youtube：Deep Learning UC Berkeley STAT-157

课本：动手学深度学习

代码：d2l-ai

3.11. 模型选择、欠拟合和过拟合

在前几节基于Fashion-MNIST数据集的实验中，我们评价了机器学习模型在训练数据集和测试数据集上的表现。如果你改变过实验中的模型结构或者超参数，你也许发现了：当模型在训练数据集上更准确时，它在测试数据集上却不一定更准确。这是为什么呢？

3.11.1. 训练误差和泛化误差

在解释上述现象之前，我们需要区分训练误差（training error）和泛化误差（generalization error）。通俗来讲，前者指模型在训练数据集上表现出的误差，后者指模型在任意一个测试数据样本上表现出的误差的期望，并常常通过测试数据集上的误差来近似。计算训练误差和泛化误差可以使用之前介绍过的损失函数，例如线性回归用到的平方损失函数和softmax回归用到的交叉熵损失函数。

让我们以高考为例来直观地解释训练误差和泛化误差这两个概念。训练误差可以认为是做往年高考试题（训练题）时的错误率，泛化误差则可以通过真正参加高考（测试题）时的答题错误率来近似。假设训练题和测试题都随机采样于一个未知的依照相同考纲的巨大试题库。如果让一名未学习中学知识的小学生去答题，那么测试题和训练题的答题错误率可能很相近。但如果换成一名反复练习训练题的高三备考生答题，即使在训练题上做到了错误率为0，也不代表真实的高考成绩会如此。

在机器学习里，我们通常假设训练数据集（训练题）和测试数据集（测试题）里的每一个样本都是从同一个概率分布中相互独立地生成的。基于该独立同分布假设，给定任意一个机器学习模型（含参数），它的训练误差的期望和泛化误差都是一样的。例如，如果我们将模型参数设成随机值（小学生），那么训练误差和泛化误差会非常相近。但我们从前面几节中已经了解到，模型的参数是通过在训练数据集上训练模型而学习出的，参数的选择依据了最小化训练误差（高三备考生）。所以，训练误差的期望小于或等于泛化误差。也就是说，一般情况下，由训练数据集学到的模型参数会使模型在训练数据集上的表现优于或等于在测试数据集上的表现。由于无法从训练误差估计泛化误差，一味地降低训练误差并不意味着泛化误差一定会降低。

机器学习模型应关注降低泛化误差。

3.11.2. 模型选择

在机器学习中，通常需要评估若干候选模型的表现并从中选择模型。这一过程称为模型选择（model selection）。可供选择的候选模型可以是有着不同超参数的同类模型。以多层感知机为例，我们可以选择隐藏层的个数，以及每个隐藏层中隐藏单元个数和激活函数。为了得到有效的模型，我们通常要在模型选择上下一番功夫。下面，我们来描述模型选择中经常使用的验证数据集（validation data set）。

3.11.2.1. 验证数据集

从严格意义上讲，测试集只能在所有超参数和模型参数选定后使用一次。不可以使用测试数据选择模型，如调参。由于无法从训练误差估计泛化误差，因此也不应只依赖训练数据选择模型。鉴于此，我们可以预留一部分在训练数据集和测试数据集以外的数据来进行模型选择。这部分数据被称为验证数据集，简称验证集（validation set）。例如，我们可以从给定的训练集中随机选取一小部分作为验证集，而将剩余部分作为真正的训练集。

然而在实际应用中，由于数据不容易获取，测试数据极少只使用一次就丢弃。因此，实践中验证数据集和测试数据集的界限可能比较模糊。从严格意义上讲，除非明确说明，否则本书中实验所使用的测试集应为验证集，实验报告的测试结果（如测试准确率）应为验证结果（如验证准确率）。

3.11.2.2. K 折交叉验证

由于验证数据集不参与模型训练，当训练数据不够用时，预留大量的验证数据显得太奢侈。一种改善的方法是K折交叉验证（K-fold cross-validation）。在K折交叉验证中，我们把原始训练数据集分割成K个不重合的子数据集，然后我们做K次模型训练和验证。每一次，我们使用一个子数据集验证模型，并使用其他K−1个子数据集来训练模型。在这K次训练和验证中，每次用来验证模型的子数据集都不同。最后，我们对这K次训练误差和验证误差分别求平均。

3.11.3. 欠拟合和过拟合

接下来，我们将探究模型训练中经常出现的两类典型问题：一类是模型无法得到较低的训练误差，我们将这一现象称作欠拟合（underfitting）；另一类是模型的训练误差远小于它在测试数据集上的误差，我们称该现象为过拟合（overfitting）。在实践中，我们要尽可能同时应对欠拟合和过拟合。虽然有很多因素可能导致这两种拟合问题，在这里我们重点讨论两个因素：模型复杂度和训练数据集大小。

3.11.3.1. 模型复杂度

为了解释模型复杂度，我们以多项式函数拟合为例。给定一个由标量数据特征x和对应的标量标签y组成的训练数据集，多项式函数拟合的目标是找一个K阶多项式函数

来近似y。在上式中，wk是模型的权重参数，b是偏差参数。与线性回归相同，多项式函数拟合也使用平方损失函数。特别地，一阶多项式函数拟合又叫线性函数拟合。

因为高阶多项式函数模型参数更多，模型函数的选择空间更大，所以高阶多项式函数比低阶多项式函数的复杂度更高。因此，高阶多项式函数比低阶多项式函数更容易在相同的训练数据集上得到更低的训练误差。给定训练数据集，模型复杂度和误差之间的关系通常如图3.4所示。给定训练数据集，如果模型的复杂度过低，很容易出现欠拟合；如果模型复杂度过高，很容易出现过拟合。应对欠拟合和过拟合的一个办法是针对数据集选择合适复杂度的模型。

图 3.4 模型复杂度对欠拟合和过拟合的影响

3.11.3.2. 训练数据集大小

影响欠拟合和过拟合的另一个重要因素是训练数据集的大小。一般来说，如果训练数据集中样本数过少，特别是比模型参数数量（按元素计）更少时，过拟合更容易发生。此外，泛化误差不会随训练数据集里样本数量增加而增大。因此，在计算资源允许的范围之内，我们通常希望训练数据集大一些，特别是在模型复杂度较高时，例如层数较多的深度学习模型。

3.11.4. 多项式函数拟合实验

为了理解模型复杂度和训练数据集大小对欠拟合和过拟合的影响，下面我们以多项式函数拟合为例来实验。首先导入实验需要的包或模块。

In [1]:

%matplotlib inline
import d2lzh as d2l
from mxnet import autograd, gluon, nd
from mxnet.gluon import data as gdata, loss as gloss, nn

3.11.4.1. 生成数据集

我们将生成一个人工数据集。在训练数据集和测试数据集中，给定样本特征x，我们使用如下的三阶多项式函数来生成该样本的标签：

其中噪声项ϵ服从均值为0、标准差为0.1的正态分布。训练数据集和测试数据集的样本数都设为100。

In [2]:

n_train, n_test, true_w, true_b = 100, 100, [1.2, -3.4, 5.6], 5
features = nd.random.normal(shape=(n_train + n_test, 1))
poly_features = nd.concat(features, nd.power(features, 2),
                          nd.power(features, 3))
labels = (true_w[0] * poly_features[:, 0] + true_w[1] * poly_features[:, 1]
          + true_w[2] * poly_features[:, 2] + true_b)
labels += nd.random.normal(scale=0.1, shape=labels.shape)

看一看生成的数据集的前两个样本。

In [3]:

features[:2], poly_features[:2], labels[:2]

Out[3]:

(
 [[2.2122064]
  [0.7740038]]
 ,
 [[ 2.2122064   4.893857   10.826221  ]
  [ 0.7740038   0.5990819   0.46369165]]
 ,
 [51.674885   6.3585763]
 )

3.11.4.2. 定义、训练和测试模型

我们先定义作图函数semilogy，其中y轴使用了对数尺度。

In [4]:

# 本函数已保存在d2lzh包中方便以后使用
def semilogy(x_vals, y_vals, x_label, y_label, x2_vals=None, y2_vals=None,
             legend=None, figsize=(3.5, 2.5)):
    d2l.set_figsize(figsize)
    d2l.plt.xlabel(x_label)
    d2l.plt.ylabel(y_label)
    d2l.plt.semilogy(x_vals, y_vals)
    if x2_vals and y2_vals:
        d2l.plt.semilogy(x2_vals, y2_vals, linestyle=':')
        d2l.plt.legend(legend)

和线性回归一样，多项式函数拟合也使用平方损失函数。因为我们将尝试使用不同复杂度的模型来拟合生成的数据集，所以我们把模型定义部分放在fit_and_plot函数中。多项式函数拟合的训练和测试步骤与“softmax回归的从零开始实现”一节介绍的softmax回归中的相关步骤类似。

In [5]:

num_epochs, loss = 100, gloss.L2Loss()

def fit_and_plot(train_features, test_features, train_labels, test_labels):
    net = nn.Sequential()
    net.add(nn.Dense(1))
    net.initialize()
    batch_size = min(10, train_labels.shape[0])
    train_iter = gdata.DataLoader(gdata.ArrayDataset(
        train_features, train_labels), batch_size, shuffle=True)
    trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), 'sgd',
                            {'learning_rate': 0.01})
    train_ls, test_ls = [], []
    for _ in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            with autograd.record():
                l = loss(net(X), y)
            l.backward()
            trainer.step(batch_size)
        train_ls.append(loss(net(train_features),
                             train_labels).mean().asscalar())
        test_ls.append(loss(net(test_features),
                            test_labels).mean().asscalar())
    print('final epoch: train loss', train_ls[-1], 'test loss', test_ls[-1])
    semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs', 'loss',
             range(1, num_epochs + 1), test_ls, ['train', 'test'])
    print('weight:', net[0].weight.data().asnumpy(),
          '\nbias:', net[0].bias.data().asnumpy())

3.11.4.3. 三阶多项式函数拟合（正常）

我们先使用与数据生成函数同阶的三阶多项式函数拟合。实验表明，这个模型的训练误差和在测试数据集的误差都较低。训练出的模型参数也接近真实值：w1=1.2,w2=−3.4,w3=5.6,b=5。

In [6]:

fit_and_plot(poly_features[:n_train, :], poly_features[n_train:, :],
             labels[:n_train], labels[n_train:])

final epoch: train loss 0.007042616 test loss 0.011773859
weight: [[ 1.3256639 -3.3630617  5.5620837]]
bias: [4.9515705]

3.11.4.4. 线性函数拟合（欠拟合）

我们再试试线性函数拟合。很明显，该模型的训练误差在迭代早期下降后便很难继续降低。在完成最后一次迭代周期后，训练误差依旧很高。线性模型在非线性模型（如三阶多项式函数）生成的数据集上容易欠拟合。

In [7]:

fit_and_plot(features[:n_train, :], features[n_train:, :], labels[:n_train],
             labels[n_train:])

final epoch: train loss 43.997807 test loss 160.66258
weight: [[15.574778]]
bias: [2.2840927]

3.11.4.5. 训练样本不足（过拟合）

事实上，即便使用与数据生成模型同阶的三阶多项式函数模型，如果训练样本不足，该模型依然容易过拟合。让我们只使用两个样本来训练模型。显然，训练样本过少了，甚至少于模型参数的数量。这使模型显得过于复杂，以至于容易被训练数据中的噪声影响。在迭代过程中，尽管训练误差较低，但是测试数据集上的误差却很高。这是典型的过拟合现象。

In [8]:

fit_and_plot(poly_features[0:2, :], poly_features[n_train:, :], labels[0:2],
             labels[n_train:])

final epoch: train loss 0.4027369 test loss 103.314186
weight: [[1.3872364 1.9376589 3.5085924]]
bias: [1.2312856]

我们将在接下来的两个小节继续讨论过拟合问题以及应对过拟合的方法。

3.11.5. 小结

由于无法从训练误差估计泛化误差，一味地降低训练误差并不意味着泛化误差一定会降低。机器学习模型应关注降低泛化误差。
可以使用验证数据集来进行模型选择。
欠拟合指模型无法得到较低的训练误差，过拟合指模型的训练误差远小于它在测试数据集上的误差。
应选择复杂度合适的模型并避免使用过少的训练样本。

3.11.6. 练习

如果用一个三阶多项式模型来拟合一个线性模型生成的数据，可能会有什么问题？为什么？
在本节提到的三阶多项式拟合问题里，有没有可能把100个样本的训练误差的期望降到0，为什么？（提示：考虑噪声项的存在。）

3.12. 权重衰减

上一节中我们观察了过拟合现象，即模型的训练误差远小于它在测试集上的误差。虽然增大训练数据集可能会减轻过拟合，但是获取额外的训练数据往往代价高昂。本节介绍应对过拟合问题的常用方法：权重衰减（weight decay）。

3.12.1. 方法

权重衰减等价于L2范数正则化（regularization）。正则化通过为模型损失函数添加惩罚项使学出的模型参数值较小，是应对过拟合的常用手段。我们先描述L2范数正则化，再解释它为何又称权重衰减。

L2范数正则化在模型原损失函数基础上添加L2范数惩罚项，从而得到训练所需要最小化的函数。L2范数惩罚项指的是模型权重参数每个元素的平方和与一个正的常数的乘积。以“线性回归”一节中的线性回归损失函数

为例，其中w1,w2是权重参数，b是偏差参数，样本i的输入为，标签为，样本数为n。将权重参数用向量表示，带有L_2范数惩罚项的新损失函数为

其中超参数。当权重参数均为0时，惩罚项最小。当较大时，惩罚项在损失函数中的比重较大，这通常会使学到的权重参数的元素较接近0。当设为0时，惩罚项完全不起作用。上式中L2范数平方展开后得到。有了L2范数惩罚项后，在小批量随机梯度下降中，我们将“线性回归”一节中权重和的迭代方式更改为

可见，L2范数正则化令权重和先自乘小于1的数，再减去不含惩罚项的梯度。因此，L2范数正则化又叫权重衰减。权重衰减通过惩罚绝对值较大的模型参数为需要学习的模型增加了限制，这可能对过拟合有效。实际场景中，我们有时也在惩罚项中添加偏差元素的平方和。

3.12.2. 高维线性回归实验

下面，我们以高维线性回归为例来引入一个过拟合问题，并使用权重衰减来应对过拟合。设数据样本特征的维度为p。对于训练数据集和测试数据集中特征为的任一样本，我们使用如下的线性函数来生成该样本的标签：

其中噪声项\epsilon服从均值为0、标准差为0.01的正态分布。为了较容易地观察过拟合，我们考虑高维线性回归问题，如设维度p=200；同时，我们特意把训练数据集的样本数设低，如20。

In [1]:

%matplotlib inline
import d2lzh as d2l
from mxnet import autograd, gluon, init, nd
from mxnet.gluon import data as gdata, loss as gloss, nn

n_train, n_test, num_inputs = 20, 100, 200
true_w, true_b = nd.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05

features = nd.random.normal(shape=(n_train + n_test, num_inputs))
labels = nd.dot(features, true_w) + true_b
labels += nd.random.normal(scale=0.01, shape=labels.shape)
train_features, test_features = features[:n_train, :], features[n_train:, :]
train_labels, test_labels = labels[:n_train], labels[n_train:]

3.12.3. 从零开始实现

下面先介绍从零开始实现权重衰减的方法。我们通过在目标函数后添加L2范数惩罚项来实现权重衰减。

3.12.3.1. 初始化模型参数

首先，定义随机初始化模型参数的函数。该函数为每个参数都附上梯度。

In [2]:

def init_params():
    w = nd.random.normal(scale=1, shape=(num_inputs, 1))
    b = nd.zeros(shape=(1,))
    w.attach_grad()
    b.attach_grad()
    return [w, b]

3.12.3.2. 定义L_2范数惩罚项

下面定义L_2范数惩罚项。这里只惩罚模型的权重参数。

In [3]:

def l2_penalty(w):
    return (w**2).sum() / 2

3.12.3.3. 定义训练和测试

下面定义如何在训练数据集和测试数据集上分别训练和测试模型。与前面几节中不同的是，这里在计算最终的损失函数时添加了L_2范数惩罚项。

In [4]:

batch_size, num_epochs, lr = 1, 100, 0.003
net, loss = d2l.linreg, d2l.squared_loss
train_iter = gdata.DataLoader(gdata.ArrayDataset(
    train_features, train_labels), batch_size, shuffle=True)

def fit_and_plot(lambd):
    w, b = init_params()
    train_ls, test_ls = [], []
    for _ in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            with autograd.record():
                # 添加了L2范数惩罚项
                l = loss(net(X, w, b), y) + lambd * l2_penalty(w)
            l.backward()
            d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)
        train_ls.append(loss(net(train_features, w, b),
                             train_labels).mean().asscalar())
        test_ls.append(loss(net(test_features, w, b),
                            test_labels).mean().asscalar())
    d2l.semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs', 'loss',
                 range(1, num_epochs + 1), test_ls, ['train', 'test'])
    print('L2 norm of w:', w.norm().asscalar())

3.12.3.4. 观察过拟合

接下来，让我们训练并测试高维线性回归模型。当lambd设为0时，我们没有使用权重衰减。结果训练误差远小于测试集上的误差。这是典型的过拟合现象。

In [5]:

fit_and_plot(lambd=0)

L2 norm of w: 11.611942

3.12.3.5. 使用权重衰减

下面我们使用权重衰减。可以看出，训练误差虽然有所提高，但测试集上的误差有所下降。过拟合现象得到一定程度的缓解。另外，权重参数的L_2范数比不使用权重衰减时的更小，此时的权重参数更接近0。

In [6]:

fit_and_plot(lambd=3)

L2 norm of w: 0.042884275

3.12.4. 简洁实现

这里我们直接在构造Trainer实例时通过wd参数来指定权重衰减超参数。默认下，Gluon会对权重和偏差同时衰减。我们可以分别对权重和偏差构造Trainer实例，从而只对权重衰减。

In [7]:

def fit_and_plot_gluon(wd):
    net = nn.Sequential()
    net.add(nn.Dense(1))
    net.initialize(init.Normal(sigma=1))
    # 对权重参数衰减。权重名称一般是以weight结尾
    trainer_w = gluon.Trainer(net.collect_params('.*weight'), 'sgd',
                              {'learning_rate': lr, 'wd': wd})
    # 不对偏差参数衰减。偏差名称一般是以bias结尾
    trainer_b = gluon.Trainer(net.collect_params('.*bias'), 'sgd',
                              {'learning_rate': lr})
    train_ls, test_ls = [], []
    for _ in range(num_epochs):
        for X, y in train_iter:
            with autograd.record():
                l = loss(net(X), y)
            l.backward()
            # 对两个Trainer实例分别调用step函数，从而分别更新权重和偏差
            trainer_w.step(batch_size)
            trainer_b.step(batch_size)
        train_ls.append(loss(net(train_features),
                             train_labels).mean().asscalar())
        test_ls.append(loss(net(test_features),
                            test_labels).mean().asscalar())
    d2l.semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs', 'loss',
                 range(1, num_epochs + 1), test_ls, ['train', 'test'])
    print('L2 norm of w:', net[0].weight.data().norm().asscalar())

与从零开始实现权重衰减的实验现象类似，使用权重衰减可以在一定程度上缓解过拟合问题。

In [8]:

fit_and_plot_gluon(0)

L2 norm of w: 13.311795

In [9]:

fit_and_plot_gluon(3)

L2 norm of w: 0.03276111

3.12.5. 小结

正则化通过为模型损失函数添加惩罚项使学出的模型参数值较小，是应对过拟合的常用手段。
权重衰减等价于L_2范数正则化，通常会使学到的权重参数的元素较接近0。
权重衰减可以通过Gluon的wd超参数来指定。
可以定义多个Trainer实例对不同的模型参数使用不同的迭代方法。

3.12.6. 练习

回顾一下训练误差和泛化误差的关系。除了权重衰减、增大训练量以及使用复杂度合适的模型，你还能想到哪些办法来应对过拟合？
如果你了解贝叶斯统计，你觉得权重衰减对应贝叶斯统计里的哪个重要概念？
调节实验中的权重衰减超参数，观察并分析实验结果。

3.13. 丢弃法

除了前一节介绍的权重衰减以外，深度学习模型常常使用丢弃法（dropout）[1] 来应对过拟合问题。丢弃法有一些不同的变体。本节中提到的丢弃法特指倒置丢弃法（inverted dropout）。

3.13.1. 方法

回忆一下，“多层感知机”一节的图3.3描述了一个单隐藏层的多层感知机。其中输入个数为4，隐藏单元个数为5，且隐藏单元的计算表达式为

这里ϕ是激活函数，x1,…,x4是输入，隐藏单元i的权重参数为w1i,…,w4i，偏差参数为bi。当对该隐藏层使用丢弃法时，该层的隐藏单元将有一定概率被丢弃掉。设丢弃概率为p，那么有p的概率hi会被清零，有1−p的概率hi会除以1−p做拉伸。丢弃概率是丢弃法的超参数。具体来说，设随机变量ξi为0和1的概率分别为p和1−p。使用丢弃法时我们计算新的隐藏单元h′i

由于，因此

即丢弃法不改变其输入的期望值。让我们对图3.3中的隐藏层使用丢弃法，一种可能的结果如图3.5所示，其中h2和h5被清零。这时输出值的计算不再依赖h2和h5，在反向传播时，与这两个隐藏单元相关的权重的梯度均为0。由于在训练中隐藏层神经元的丢弃是随机的，即h1,…,h5都有可能被清零，输出层的计算无法过度依赖h1,…,h5中的任一个，从而在训练模型时起到正则化的作用，并可以用来应对过拟合。在测试模型时，我们为了拿到更加确定性的结果，一般不使用丢弃法。

图 3.5 隐藏层使用了丢弃法的多层感知机

3.13.2. 从零开始实现

根据丢弃法的定义，我们可以很容易地实现它。下面的dropout函数将以drop_prob的概率丢弃NDArray输入X中的元素。

In [1]:

import d2lzh as d2l
from mxnet import autograd, gluon, init, nd
from mxnet.gluon import loss as gloss, nn

def dropout(X, drop_prob):
    assert 0 <= drop_prob <= 1
    keep_prob = 1 - drop_prob
    # 这种情况下把全部元素都丢弃
    if keep_prob == 0:
        return X.zeros_like()
    mask = nd.random.uniform(0, 1, X.shape) < keep_prob
    return mask * X / keep_prob

我们运行几个例子来测试一下dropout函数。其中丢弃概率分别为0、0.5和1。

In [2]:

X = nd.arange(16).reshape((2, 8))
dropout(X, 0)

Out[2]:

[[ 0.  1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.]
 [ 8.  9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.]]

In [3]:

dropout(X, 0.5)

Out[3]:

[[ 0.  2.  4.  6.  0.  0.  0. 14.]
 [ 0. 18.  0.  0. 24. 26. 28.  0.]]

In [4]:

dropout(X, 1)

Out[4]:

[[0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.]]

3.13.2.1. 定义模型参数

实验中，我们依然使用“softmax回归的从零开始实现”一节中介绍的Fashion-MNIST数据集。我们将定义一个包含两个隐藏层的多层感知机，其中两个隐藏层的输出个数都是256。

In [5]:

num_inputs, num_outputs, num_hiddens1, num_hiddens2 = 784, 10, 256, 256

W1 = nd.random.normal(scale=0.01, shape=(num_inputs, num_hiddens1))
b1 = nd.zeros(num_hiddens1)
W2 = nd.random.normal(scale=0.01, shape=(num_hiddens1, num_hiddens2))
b2 = nd.zeros(num_hiddens2)
W3 = nd.random.normal(scale=0.01, shape=(num_hiddens2, num_outputs))
b3 = nd.zeros(num_outputs)

params = [W1, b1, W2, b2, W3, b3]
for param in params:
    param.attach_grad()

3.13.2.2. 定义模型

下面定义的模型将全连接层和激活函数ReLU串起来，并对每个激活函数的输出使用丢弃法。我们可以分别设置各个层的丢弃概率。通常的建议是把靠近输入层的丢弃概率设得小一点。在这个实验中，我们把第一个隐藏层的丢弃概率设为0.2，把第二个隐藏层的丢弃概率设为0.5。我们可以通过“自动求梯度”一节中介绍的is_training函数来判断运行模式为训练还是测试，并只需在训练模式下使用丢弃法。

In [6]:

drop_prob1, drop_prob2 = 0.2, 0.5

def net(X):
    X = X.reshape((-1, num_inputs))
    H1 = (nd.dot(X, W1) + b1).relu()
    if autograd.is_training():  # 只在训练模型时使用丢弃法
        H1 = dropout(H1, drop_prob1)  # 在第一层全连接后添加丢弃层
    H2 = (nd.dot(H1, W2) + b2).relu()
    if autograd.is_training():
        H2 = dropout(H2, drop_prob2)  # 在第二层全连接后添加丢弃层
    return nd.dot(H2, W3) + b3

3.13.2.3. 训练和测试模型

这部分与之前多层感知机的训练和测试类似。

In [7]:

num_epochs, lr, batch_size = 5, 0.5, 256
loss = gloss.SoftmaxCrossEntropyLoss()
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size,
              params, lr)

epoch 1, loss 1.1315, train acc 0.564, test acc 0.774
epoch 2, loss 0.5849, train acc 0.784, test acc 0.832
epoch 3, loss 0.4972, train acc 0.818, test acc 0.857
epoch 4, loss 0.4435, train acc 0.838, test acc 0.855
epoch 5, loss 0.4164, train acc 0.848, test acc 0.861

3.13.3. 简洁实现

在Gluon中，我们只需要在全连接层后添加Dropout层并指定丢弃概率。在训练模型时，Dropout层将以指定的丢弃概率随机丢弃上一层的输出元素；在测试模型时，Dropout层并不发挥作用。

In [8]:

net = nn.Sequential()
net.add(nn.Dense(256, activation="relu"),
        nn.Dropout(drop_prob1),  # 在第一个全连接层后添加丢弃层
        nn.Dense(256, activation="relu"),
        nn.Dropout(drop_prob2),  # 在第二个全连接层后添加丢弃层
        nn.Dense(10))
net.initialize(init.Normal(sigma=0.01))

下面训练并测试模型。

In [9]:

trainer = gluon.Trainer(net.collect_params(), 'sgd', {'learning_rate': lr})
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size, None,
              None, trainer)

epoch 1, loss 1.1141, train acc 0.566, test acc 0.785
epoch 2, loss 0.5813, train acc 0.784, test acc 0.826
epoch 3, loss 0.4881, train acc 0.821, test acc 0.851
epoch 4, loss 0.4423, train acc 0.838, test acc 0.855
epoch 5, loss 0.4133, train acc 0.850, test acc 0.861

3.13.4. 小结

我们可以通过使用丢弃法应对过拟合。
丢弃法只在训练模型时使用。

3.13.5. 练习

如果把本节中的两个丢弃概率超参数对调，会有什么结果？
增大迭代周期数，比较使用丢弃法与不使用丢弃法的结果。
如果将模型改得更加复杂，如增加隐藏层单元，使用丢弃法应对过拟合的效果是否更加明显？
以本节中的模型为例，比较使用丢弃法与权重衰减的效果。如果同时使用丢弃法和权重衰减，效果会如何？

3.13.6. 参考文献

[1] Srivastava, N., Hinton, G., Krizhevsky, A., Sutskever, I., & Salakhutdinov, R. (2014). Dropout: a simple way to prevent neural networks from overfitting. JMLR

3.14. 正向传播、反向传播和计算图

前面几节里我们使用了小批量随机梯度下降的优化算法来训练模型。在实现中，我们只提供了模型的正向传播（forward propagation）的计算，即对输入计算模型输出，然后通过autograd模块来调用系统自动生成的backward函数计算梯度。基于反向传播（back-propagation）算法的自动求梯度极大简化了深度学习模型训练算法的实现。本节我们将使用数学和计算图（computational graph）两个方式来描述正向传播和反向传播。具体来说，我们将以带L2L2范数正则化的含单隐藏层的多层感知机为样例模型解释正向传播和反向传播。

3.14.1. 正向传播

正向传播是指对神经网络沿着从输入层到输出层的顺序，依次计算并存储模型的中间变量（包括输出）。为简单起见，假设输入是一个特征为的样本，且不考虑偏差项，那么中间变量

其中是隐藏层的权重参数。把中间变量输入按元素运算的激活函数后，将得到向量长度为h的隐藏层变量

隐藏层变量hh也是一个中间变量。假设输出层参数只有权重，可以得到向量长度为q的输出层变量

假设损失函数为ℓℓ，且样本标签为yy，可以计算出单个数据样本的损失项

根据L2L2范数正则化的定义，给定超参数λ，正则化项即

其中矩阵的Frobenius范数等价于将矩阵变平为向量后计算L2范数。最终，模型在给定的数据样本上带正则化的损失为

我们将JJ称为有关给定数据样本的目标函数，并在以下的讨论中简称目标函数。

3.14.2. 正向传播的计算图

我们通常绘制计算图来可视化运算符和变量在计算中的依赖关系。图3.6绘制了本节中样例模型正向传播的计算图，其中左下角是输入，右上角是输出。可以看到，图中箭头方向大多是向右和向上，其中方框代表变量，圆圈代表运算符，箭头表示从输入到输出之间的依赖关系。

图 3.6 正向传播的计算图

3.14.3. 反向传播

反向传播指的是计算神经网络参数梯度的方法。总的来说，反向传播依据微积分中的链式法则，沿着从输出层到输入层的顺序，依次计算并存储目标函数有关神经网络各层的中间变量以及参数的梯度。对输入或输出X,Y,Z为任意形状张量的函数和，通过链式法则，我们有

其中prodprod运算符将根据两个输入的形状，在必要的操作（如转置和互换输入位置）后对两个输入做乘法。

回顾一下本节中样例模型，它的参数是和，因此反向传播的目标是计算和。我们将应用链式法则依次计算各中间变量和参数的梯度，其计算次序与前向传播中相应中间变量的计算次序恰恰相反。首先，分别计算目标函数有关损失项L和正则项s的梯度

其次，依据链式法则计算目标函数有关输出层变量的梯度：

接下来，计算正则项有关两个参数的梯度：

现在，我们可以计算最靠近输出层的模型参数的梯度。依据链式法则，得到

沿着输出层向隐藏层继续反向传播，隐藏层变量的梯度可以这样计算：

由于激活函数ϕ是按元素运算的，中间变量zz的梯度的计算需要使用按元素乘法符⊙：

最终，我们可以得到最靠近输入层的模型参数的梯度。依据链式法则，得到

3.14.4. 训练深度学习模型

在训练深度学习模型时，正向传播和反向传播之间相互依赖。下面我们仍然以本节中的样例模型分别阐述它们之间的依赖关系。

一方面，正向传播的计算可能依赖于模型参数的当前值，而这些模型参数是在反向传播的梯度计算后通过优化算法迭代的。例如，计算正则化项依赖模型参数和的当前值，而这些当前值是优化算法最近一次根据反向传播算出梯度后迭代得到的。

另一方面，反向传播的梯度计算可能依赖于各变量的当前值，而这些变量的当前值是通过正向传播计算得到的。举例来说，参数梯度的计算需要依赖隐藏层变量的当前值hh。这个当前值是通过从输入层到输出层的正向传播计算并存储得到的。

因此，在模型参数初始化完成后，我们交替地进行正向传播和反向传播，并根据反向传播计算的梯度迭代模型参数。既然我们在反向传播中使用了正向传播中计算得到的中间变量来避免重复计算，那么这个复用也导致正向传播结束后不能立即释放中间变量内存。这也是训练要比预测占用更多内存的一个重要原因。另外需要指出的是，这些中间变量的个数大体上与网络层数线性相关，每个变量的大小跟批量大小和输入个数也是线性相关的，它们是导致较深的神经网络使用较大批量训练时更容易超内存的主要原因。

3.14.5. 小结

正向传播沿着从输入层到输出层的顺序，依次计算并存储神经网络的中间变量。
反向传播沿着从输出层到输入层的顺序，依次计算并存储神经网络中间变量和参数的梯度。
在训练深度学习模型时，正向传播和反向传播相互依赖。

3.14.6. 练习

在本节样例模型的隐藏层和输出层中添加偏差参数，修改计算图以及正向传播和反向传播的数学表达式。

3.15. 数值稳定性和模型初始化

理解了正向传播与反向传播以后，我们来讨论一下深度学习模型的数值稳定性问题以及模型参数的初始化方法。深度模型有关数值稳定性的典型问题是衰减（vanishing）和爆炸（explosion）。

3.15.1. 衰减和爆炸

当神经网络的层数较多时，模型的数值稳定性容易变差。假设一个层数为LL的多层感知机的第ll层H(l)H(l)的权重参数为W(l)，输出层H(L)H(L)的权重参数为W(L)。为了便于讨论，不考虑偏差参数，且设所有隐藏层的激活函数为恒等映射（identity mapping）ϕ(x)=x。给定输入X，多层感知机的第ll层的输出。此时，如果层数ll较大，H(l)的计算可能会出现衰减或爆炸。举个例子，假设输入和所有层的权重参数都是标量，如权重参数为0.2和5，多层感知机的第30层输出为输入X分别与（衰减）和（爆炸）的乘积。类似地，当层数较多时，梯度的计算也更容易出现衰减或爆炸。

随着内容的不断深入，我们会在后面的章节进一步介绍深度学习的数值稳定性问题以及解决方法。

3.15.2. 随机初始化模型参数

在神经网络中，通常需要随机初始化模型参数。下面我们来解释这样做的原因。

回顾“多层感知机”一节图3.3描述的多层感知机。为了方便解释，假设输出层只保留一个输出单元o1o1（删去o2和o3以及指向它们的箭头），且隐藏层使用相同的激活函数。如果将每个隐藏单元的参数都初始化为相等的值，那么在正向传播时每个隐藏单元将根据相同的输入计算出相同的值，并传递至输出层。在反向传播中，每个隐藏单元的参数梯度值相等。因此，这些参数在使用基于梯度的优化算法迭代后值依然相等。之后的迭代也是如此。在这种情况下，无论隐藏单元有多少，隐藏层本质上只有1个隐藏单元在发挥作用。因此，正如在前面的实验中所做的那样，我们通常将神经网络的模型参数，特别是权重参数，进行随机初始化

3.15.2.1. MXNet的默认随机初始化

随机初始化模型参数的方法有很多。在“线性回归的简洁实现”一节中，我们使用net.initialize(init.Normal(sigma=0.01))使模型net的权重参数采用正态分布的随机初始化方式。如果不指定初始化方法，如net.initialize()，MXNet将使用默认的随机初始化方法：权重参数每个元素随机采样于-0.07到0.07之间的均匀分布，偏差参数全部清零。

3.15.2.2. Xavier随机初始化

还有一种比较常用的随机初始化方法叫作Xavier随机初始化 [1]。假设某全连接层的输入个数为a，输出个数为b，Xavier随机初始化将使该层中权重参数的每个元素都随机采样于均匀分布

它的设计主要考虑到，模型参数初始化后，每层输出的方差不该受该层输入个数影响，且每层梯度的方差也不该受该层输出个数影响。

3.15.3. 小结

深度模型有关数值稳定性的典型问题是衰减和爆炸。当神经网络的层数较多时，模型的数值稳定性容易变差。
我们通常需要随机初始化神经网络的模型参数，如权重参数。

3.15.4. 练习

有人说随机初始化模型参数是为了“打破对称性”。这里的“对称”应如何理解？
是否可以将线性回归或softmax回归中所有的权重参数都初始化为相同值？

3.15.5. 参考文献

[1] Glorot, X., & Bengio, Y. (2010, March). Understanding the difficulty of training deep feedforward neural networks. In Proceedings of the thirteenth international conference on artificial intelligence and statistics (pp. 249-256).