五、正交变换

• 正交变换基本概念
• 离散傅里叶变换
• 其他正交变换

将空域中的图像变换到变换域

ps://TODO 这一章并没有理解，理论有点抽象，需要后续逐渐提高认识

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正交变换的基本概念

图像是许多点冲激函数的累加（转换到空间的信号处理问题），图像通过系统的效果就是每一点冲激函数通过系统的响应之和。（通常数字图像被认为是一个空间线性系统），这里联系线性系统的知识来理解。

任何图像都可以分解成基图像之和，这些基图像是相互正交的，图像变换的本质是寻找合适的基图像来表达图像。

三类变换

• 正弦/余弦变换
• 方波型变换
• 基于特征向量的变换

1.一维正交变换

线性变换：F=Tf,这里T为变换矩阵，N*N，f为N*1的原向量，那么这里就是对向量f的一个线性变换，变换后的结果是F。如图一所示

图片.png

g(x,u)为正变换核，矩阵T为变换的核矩阵，变换矩阵。

同理也可以做逆变换f=T^{(-1)F，显然TT}(-1)=E(或者I)

酉变换：T的逆变换等于其复共轭的转置时，该线性变换为酉变换。

正交变换：若T为师叔编号，则称酉变换为正交变换。（实数的复共轭任然是实数本身），此时，T的逆=T的转置，T*T的转置=E

此时，正交变换T的每一列称为该正交变换的正交基。此时，这些基向量正交，乘积为0.

完备性：如图二

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2.二维正交变换

二维离散线性变换：图三

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可分离变换核：上图中，若核函数中x和y是无关的，那么可以写成分离的形式，使得二维变换可分步计算，每一步做一个一维变换。如图四所示

图片.png

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离散傅里叶变换

一种经典的正余弦正交变换，建立起空域和频域的联系。

1.连续傅里叶变换

• 一维：如图5
  

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• 二维：如图6
  

  图片.png

2.离散傅里叶变换

• 一维：如图7
  

  图片.png

• 二维：如图8
  

  图片.png

意义：跟一维信号处理一样，傅里叶变化，把图像从“空域”变为“频率”。对于一幅图像，高频部分代表了图像的细节、纹理信息；低频部分代表了图像的轮廓信息。如果对一幅精细的图像使用低通滤波器，那么滤波后的结果就剩下了轮廓了。这与信号处理的基本思想是相通的。如果图像受到的噪声恰好位于某个特定的“频率”范围内，则可以通过滤波器来恢复原来的图像。

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其他正交变换