小波分析中的尺度函数与小波函数

如题，我想问问尺度因子a和尺度函数一样吗？如果不一样那他们之间有什么联系呢？非常感谢

不一样，尺度因子只是个尺度函数中的系数；尺度函数对应图像二维小波变换中的近似子带、小波函数对应细节子带。如果尺度函数为φ（2^a*x-i），则尺度因子a越大尺度函数生成的矢量空间越大，波形越小。

尺度函数与小波函数

对于多分辨率而言，尺度函数与小波函数共同构造了信号的分解。这里尺度函数可以由低通滤波器构造，而小波函数则由高通滤波器实现。这样的滤波器组就构成了分解的框架。而同时我们可以看到，低通滤波器的尺度函数可以作为下一级的小波函数和尺度函数的母函数。说明白些，其实尺度函数表征了信号的低频特征，小波函数才是真正逼近高频的基。利用尺度函数可以构造出小波函数。同时我们也知道，由于下抽样后小波函数失去了平移不变性。这同傅立叶变换相同，当在时域中的信号f=x(t)进行抽样成为f=x(2t)，那么在时间上的平移就不是线性的了。不具有平移不变性所以我们对信号进行平移时就会舍弃了一些信号的性质，不能充分利用信号信息。而解决的办法就是多孔小波。采用多孔小波我们不再每次滤波后对信号进行下抽样。不过同时我们又不得不面对冗余的问题，因为实际上通过滤波器以后信号被展宽了两倍。这对于压缩来说是不利的。所以多孔要解决冗余与平移不变性的问题，这两个看起来是矛盾的，不过我们可以这样思考：就是可以多分辨变换完成之后再抽取。这样一来问题就不那么复杂了。

小波函数与尺度函数

这个问题不好说，简单的说你得从小波的多分辨率分析开始理解，多分辨率分析又得从映射来理解，映射又得从向量的投影来理解，所以我就从向量的投影来说：假设是在三维空间里表达一个向量，我们需要建立一个三维的坐标系，只要坐标系建立我们就可以用三个点（x,y,z）来简单的表示一个向量，同样的在一个信号我们设为f(t),要想表示它，我们可以用一个个正交的简单函数来构建坐标系，然后将f(t),映射与这些简单的正交函数上，产生一个系数，这些系数我们就可以等同于(x,y,z),只是由于它的维数是超过3维的所以你不好想象，总之就是利用相互正交的简单函数，构建一个表达信号的空间“坐标系”，然后就可以用这些系数和正交函数来表示f(t),这就是小波的核心思想，在小波分析中这个构建坐标系的函数，就是小波函数，但是在小波函数来表示一个信号的时候，它其实是将信号映射在了时频平面内的，这里面就有一个问题，在实现过程中需要对需要一个频域的底座和平台，来让信号f(t)与之做映射后是在一定的频率分辨率上进行的，这个起到底座的函数就是尺度函数，在尺度函数的平台下对频率的分析，或者说对信号的f(t)的表达就是小波函数的作用。在滤波实现中低频滤波就相当于尺度函数的作用，小波函数的实现就是高频滤波器的使用。

我一直搞不清尺度函数和小波函数有什么联系和区别，还有为什么有的小波有尺度函数，而有的没有呢？尺度函数是干什么用的呢？请大侠们指点一二，谢谢！

小波函数是由尺度函数构造的，尺度函数的性质决定了小波函数的性质。尺度函数从滤波器的角度看是低通滤波器，而小波函数是高通滤波器。

小波基函数的系数与尺度变换函数又有什么关系呢？

尺度函数又称为小波父函数.根据双尺度方程,可以由尺度函数生成小波.进行信号处理时,先要对信号进行分解.也就是用尺度函数对信号进行分解.尺度函数的频带与待分析信号的频带相同,然后将逼近函数分别在尺度空间和小波空间中进行分解.就得到了信号的低频粗略部分和高频细节部分.此时新的尺度函数频带是原信号频带的一半.小波函数的频带是另一半(高频部分).由此实现了对原信号的按频带分解!

请问：具体分析时，有没有选择小波函数的一般原则和尺度的选择？还是仅仅根据经验？多次试探？或所要分析的信号的形状？

一般来说，小波分析与傅立叶分析结合起来。如果对于分析的信号所具有的特征不了解，你必须通过傅立叶频谱分析了解信号的原貌，小波分析只是一种获取信号特征信息的手段，不能仅仅因为小波功能强大，很多人都在用而依赖小波分析，特别是入门前更要注重各种分析方法的比较，本人意见，即使精通了小波分析，傅立叶分析还是不能放弃的！

选择小波应该从下面几个角度，根据你的需要来选择：小波的支集长度，消失距阶数，正则性，对称性。如果你需要压缩应用，最好选择消失距阶数高和有正则性（双正交小波）的小波。

小波基函数的选取应从一般原则和具体对象两方面进行考虑.一般原则是：① 正交性：源于数学分析的简单和工程应用中的便于理解操作。② 紧支集：保证优良的时－频局部特性，也利于算法的实现。③ 对称性：关系到小波的滤波特性是否具有线性相位，这与失真问题密切相关。④ 平滑性：关系到频率分辨率的高低。如果平滑性差，则随着变换级数的增加，原来平滑的输入信号将很快出现不连续性，导致重建时失真。当然，要完全满足这些特性是十分困难的。如，紧支集与平滑性不可兼得，正交性的紧支集又使对称性成为不可能，因此只能寻找一种能恰当兼顾这些特性的合理折衷方案。具体选时应视应用的领域的不同而不同。就图像处理而言，如果目的是无损压缩，对称性和平滑性就很重要；如果是边缘检测纹理分析和噪声去除，那就需要选择小波基与待处理图像的感兴趣分量具有相似性。