熵、信息熵、交叉熵详解

0 前言

信息论（ Information Theory） 是数学、 物理、 统计、 计算机科学等多个学科的交叉领域。 信息论是由克劳德· 香农最早提出的， 主要研究信息的量化、存储和通信等方法．这里，“信息” 是指一组消息的集合。 假设在一个噪声通道上发送消息， 我们需要考虑如何对每一个信息进行编码、 传输以及解码， 使得接收者可以尽可能准确地重构出消息。

在机器学习相关领域， 信息论也有着大量的应用，比如特征抽取、 统计推断、自然语言处理等。

1 熵

熵（ Entropy） 最早是物理学的概念， 用于表示一个热力学系统的无序程度。在信息论中， 熵用来衡量一个随机事件的不确定性。

1.1 自信息和熵

==自信息（ Self Information） ==表示一个随机事件所包含的信息量。 一个随机
事件发生的概率越高， 其自信息越低． 如果一个事件必然发生， 其自信息为0。

对于一个随机变量 $X$（ 取值集合为 $\chi$， 概率分布为$p(x)$, $x\in \chi$）， 当$X=x$时的自信息$I(x)$定义为:

$$I(x)=-\log p(x)$$

在自信息的定义中， 对数的底可以使用 2、 自然常数 或是 10。当底为 2 时，自信息的单位为bit；当底为时， 自信息的单位为nat。

对于分布为$p(x)$的随机变量SXS， 其自信息的数学期望$E_X[I(X)]$， 也就是X的熵，记作$H(X)$:

$$\begin{array}{rl}H(x)& =E_x[I(X)]\\ & =E_X[-\log p(x)]\\ & =-\sum _{x\in \chi }p(x)\log p(x)\end{array}$$

其中，当$p(x_i)=0$时，定义$0\log 0=0$，因为${\lim }_{p\to 0^{+}}p\log p=0$。

熵越高， 则随机变量的信息越多； 熵越低， 则随机变量的信息越少。 如果变量
$X$ 当且仅当在$x$时, $p(X=x)=1$， 则熵为 0． 也就是说， 对于一个确定的信息， 其熵为0， 信息量也为0。 如果其概率分布为一个均匀分布， 则熵最大。

• 假设随机变量$X$的概率分布为$P(x_1)=1,p(x_{other})=0$
• 假设随机变量$Y$的概率分布为$P(y_1)=0.5,p(y_2)=p(y_3)=0.25$，$p(y_{other})=0$
• 假设随机变量$Z$的概率分布为$P(z_1)=p(z_2)=p(z_3)=p(z_4)=0.25$，$p(z_{other})=0$

对随机变量$X$来说，只有一种取值可能，$X$是一个确定事件，熵最小为0。
对随机变量$Y$来说，一共有三种取值可能，不是一个均匀分布，熵为1.5。
对随机变量$Z$来说，一共有四种可能，每种可能的概率一样，是均匀分布，熵为2，此时的熵是所有共有四种可能取值变量的熵中的最大值。

1.2 熵编码

信息论的研究目标之一是如何用最少的编码表示传递信息． 假设我们要传递一段文本信息， 这段文本中包含的符号都来自于一个字母表 ， 我们就需要对字母表中的每个符号进行编码． 以二进制编码为例， 我们常用的ASCII码就是用固定的 8bits 来编码每个字母． 但这种固定长度的编码方案不是最优的． 一种高效的编码原则是字母的出现概率越高， 其编码长度越短． 比如对字母 , , 分别编码为0, 10, 110。

给定一串要传输的文本信息， 其中字母$x$的出现概率为$p(x)$， 其最佳编码长度为$-{\log }_{2}p(x)$， 整段文本的平均编码长度为 $-\sum _{x}p(x){\log }_{2}p(x)=H(X)$， 即底为 2的熵。

在对分布$p(x)$的符号进行编码时， 熵 $H(p)$也是理论上最优的平均编码长度， 这种编码方式称为熵编码（ Entropy Encoding）。

由于每个符号的自信息通常都不是整数， 因此在实际编码中很难达到理论上的最优值。霍夫曼编码（ Huffman Coding） 和算术编码（ Arithmetic Coding）是两种最常见的熵编码技术。

1.3 联合熵和条件熵

对于两个离散随机变量X和Y， 假设X取值集合为$\mathcal{X}$;Y取值集合为$\mathcal{Y}$， 其联合概率分布满足为$p(x,y)$， 则X和Y的联合熵为：

$$H(X,Y)=-\sum _{x\in \mathcal{X}}\sum _{y\in \mathcal{Y}}p(x,y)\log p(x,y)$$

X和Y的条件熵为：

$$\begin{array}{rl}H(X|Y)& =\sum _{y\in \mathcal{Y}}p(y)H(X|Y=y)\\ & =-\sum _{y\in \mathcal{Y}}p(y)\sum _{x\in \mathcal{X}}p(x|y)logp(x|y)\\ & =-\sum _{x\in \mathcal{X}}\sum _{y\in \mathcal{Y}}p(x,y)\log p(x|y)\\ & =-\sum _{x\in \mathcal{X}}\sum _{y\in \mathcal{Y}}p(x,y)\log \frac{p(x,y)}{p(y)}\\ & =-\sum _{x\in \mathcal{X}}\sum _{y\in \mathcal{Y}}p(x,y)\log p(x,y)-[-\sum _{x\in \mathcal{X}}\sum _{y\in \mathcal{Y}}p(x,y)\log p(y)]\\ & =H(X,Y)-[-\log p(y)\sum _{x\in \mathcal{X}}\sum _{y\in \mathcal{Y}}p(x,y)]\\ & =H(X,Y)-[-\log p(y)\sum _{y\in \mathcal{Y}}p(y)]\\ & =H(X,Y)-H(Y)\end{array}$$

2 互信息

==互信息（Mutual Information）==是衡量已知一个变量时， 另一个变量不确定性的减少程度． 两个离散随机变量X和Y的互信息定义为：

$$I(X;Y)=\sum _{x\in \mathcal{X}}\sum _{y\in \mathcal{Y}}p(x,y)\log \frac{p(x,y)}{p(x)p(y)}$$

互信息的一个性质为：

$$I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)=H(Y)-H(Y|X)$$

如果变量X和Y相互独立，则他们的互信息为0。

3 交叉熵

对于分布为$p(x)$的随机变量， 熵$H(p)$表示其最优编码长度。 交叉熵（ Cross
Entropy）是按照概率分布$q$的最优编码对真实分布为$p$的信息进行编码的长度，
定义为：

$$\begin{array}{rl}H(p,q)& =E_p[-\log q(x)]\\ & =-\sum _{x}p(x)\log q(x)\end{array}$$

在给定$p$的情况下，如果$q$和$p$越接近，交叉熵越小；如果$q$和$p$越远，交叉熵越大。在实际应用中，例如在多分类任务模型的学习中，p为标签的one-hot编码，而q为模型经过softmax层的输出，代表每一类分类的概率。

例如一个手写数字识别，一共10类：

• 假设softmax的输出层为【0.01,0.22,0.64,0.03,0.01,0.02,0.03,0.04】

若分类正确

• 标签为【0,0,1,0,0,0,0,0,0,0】
  则交叉熵损失为$-1\times \log 0.64$

若分类错误时：

• 标签为【1,0,0,0,0,0,0,0,0,0】
• 则交叉熵损失为$-1\times \log 0.01$

此时的损失远远大于分类正确的损失，所以在训练的时候最小化交叉熵损失。