动态规划问题总结【学习中】

DP总览

问题特点

计数（多少种）

• Li114，多少种路径
• 多少种方法选出k个数，使得和是sum

最大值

• Li669，硬币的最少个数
• Li397，最长上升子序列

存在性（可行性、能否）

• Li116，能否跳到最后一块石头

解题步骤

1. 确定状态

   • 考虑最后一步（最后一个物品，最后一个路径）
   • 变成解决子问题了（规模更小的问题）
   • 状态就是 f 对应的 dp

2. 确定状态转移方程

   • ❗ dp[i] 和 f(i) 不完全一样 P2O_2e 14，Li515
   • dp[i]的计算顺序（从大到小还是从小到达）有影响 0-1背包

3. 分析初始条件和边界情况

   • 初始条件：开始的几项，和后面规则不一样的值
   • 边界情况：数组下标越界时，无法实现的情况的dp值（-1，无穷还是什么）

4. 确定计算dp的顺序

   • 原则就是计算需要的都是之前计算的结果
   • 一般都是从小到大，背包问题的空间优化必须反向计算

空间优化

• 使用滚动数组, 根据状态转移方程中需要的最旧的数据确定大小
• 用dp[i % n]代替dp[i]是最方便, 最好理解的解决办法, 其中n是压缩后的数组大小
• 一般是逐行扫描, 滚动数组长度是列数的倍数。 如果列多行少时, 可以考虑逐列扫描让滚动数组长度是列数的倍数， 进一步优化空间

坐标型20%

简单例题

Li114 不同路径

Li115 不同路径，网格中有障碍

问题特点

• 给定一个序列或者网格

• 状态dp[i]的含义是以a[i]结尾的子序列的性质

Li397 最长连续单向子序列

Li110 路径数字和的最小值

Li553 炸弹袭击

序列型20%

简单例题

Li515 刷房子

问题特点

• 状态dp[i]的含义是前i个元素的性质
• 初始化时，dp[0]表示空序列的性质
• ❗ for循环里i <= n, 经常写成i < n，导致输出0

Li556 刷房子, O(n*k)

Li644 数位中1的个数

L198_Li392 打家劫舍

划分型20%

简单例题

Li512 编码解析方法

区间型15%

背包型10%

载重W的背包，N件待选物品，物品属性：重量w，价值v

0-1背包

列表中的物品只有一个

• 最大价值
  • 要求正好装满
  • 不要求正好装满
• 能否装满

完全背包

列表种的物品有任意个

最长序列型5%

博弈型5%

综合型5%