二重积分换元法

重积分$I={\iint }_{D}f(x,y)dxdy$
换成$x=x(u,v),y=y(u,v)$以后
$I={\iint }_{D^{\prime }}f(x(u,v),y(u,v))\frac{1}{|J|}dudv$
其中J是J(u,v)雅各比行列式具体是
$$J(u,v)=\begin{array}{c}\left|\begin{array}{cc}{u}_x& u_y\\ v_x& v_y\end{array}\right|\end{array}$$
一个难点是如何换区域：就是把原来的界限用u,v表示，切勿带边界点，因为边界点可能转换后可能不在边界上了。

极坐标换元
${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta$
主意极点在区域内，边界和区域外三种情况角度的取值。