数学科学的完整课程大纲（工科自学必看）
数学科学的完整课程
- 第一
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- 1. 数学分析
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- 第1章 数学基础
- 第2章 数系
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- 实数系
- 复数系
- 广义实数系
- 第3章 拓扑
- PART A 数列
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- 第A1章 数列
- 第A2章 数列差分
- 第A3章 数列求和
- 第A4章 数项级数
- 第A5章 特殊数列
- PART B 函数
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- 第B1章 函数
- 第B2章 微分
- 第B3章 Riemann积分
- 第B4章 函数项级数
- 第B5章 特殊函数
- PART C 多元函数
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- 第C1章 多元函数
- 第C2章 多元函数的微分
- 第C3章 微分形式的积分
- 第C4章 含参变量的积分
- 第C5章 特殊多元函数
- 进阶
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- 第1章 实分析初步
- 第2章 复分析初步
- 2. 高等代数
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- 第一章 行列式
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- § 1 二阶行列式
- § 2 三阶行列式
- § 3 n n n 阶行列式
- § 4 行列式的展开和转置
- § 5 行列式的计算
- § 6 行列式的等价定义
- § 7 Laplace 定理
- 第二章 矩阵
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- § 1 矩阵的概念
- § 2 矩阵的运算
- § 3 矩阵的逆阵
- § 4 矩阵的初等变换与初等矩阵
- § 5 矩阵乘积的行列式与用初等变换法求逆阵
- § 6 分块矩阵
- § 7 Cauchy-Binet公式
- 第三章 线性空间
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- § 1 数域
- § 2 行向量和列向量
- § 3 线性空间
- § 4 向量的线性关系
- § 5 向量组的秩
- § 6 矩阵的秩
- § 7 坐标向量
- § 8 基变换与过渡矩阵
- § 9 子空间
- § 10 线性方程组的解
- 第四章 线性映射
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- § 1 线性映射的概念
- § 2 线性映射的运算
- § 3 线性映射与矩阵
- § 4 线性映射的像与核
- § 5 不变子空间
- 第五章
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- § 1 一元多项式代数
- § 2 整除
- § 3 最大公因式
- § 4 因式分解
- § 5 多项式函数
- § 6 复系数多项式
- § 7 实系数多项式和有理系数多项式
- § 8 多元多项式
- § 9 对称多项式
- § 10 结式和判别式
- 第六章 特征值
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- § 1 特征值和特征向量
- § 2 对角化
- § 3 极小多项式与Cayley-Hamilton定理
- § 4 特征值的估计
- 第七章 相似标准型
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- § 1 多项式矩阵
- § 2 矩阵的法式
- § 3 不变因子
- § 4 有理标准型
- § 5 初等因子
- § 6 Jordan 标准型
- § 7 Jordan 标准型的进一步讨论和应用举例
- § 8 矩阵函数
- 第八章 二次型
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- § 1 二次型的化简与矩阵的合同
- § 2 二次型的化简
- § 3 惯性定理
- § 4 正定型与正定矩阵
- § 5 Hermite 型
- 第九章 内积空间$\hfill$18 学时
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- § 1 内积空间的概念
- § 2 内积的表示和正交基
- § 3 伴随
- § 4 内积空间的同构，正交变换和酉变换
- § 5 自伴随算子
- § 6 复正规矩阵
- § 7 实正规矩阵
- § 8 谱
- § 9 最小二乘解
- 第十章 双线性型$\hfill$10 学时
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- § 1 对偶空间
- § 2 双线性型
- § 3 纯量积
- § 4 交错型与辛空间
- § 5 对称型与正交几何
- 3. 几何学
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- 第一章 射影平面
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- 第一讲 引论
- 第二讲 拓广平面
- 第三讲 拓广平面上的齐次坐标
- 第四讲 射影平面
- 第五讲 平面对偶原则
- 第六讲 Desargues透视定理
- 第二章 射影变换
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- 第七讲 交比
- 第八讲 完全四点形和完全四线形的调和性
- 第九讲 一维基本形的射影对应
- 第十讲 一维射影变换
- 第十一讲 一维基本形的对合
- 第十二讲 二维射影变换
- 第三章 变换群与几何学
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- 第十三讲 射影仿射平面
- 第四章 二次曲线理论
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- 第十四讲 二次曲线的射影定义
- 第十五讲 Pascal定理和Brianchon定理
- 第十六讲 配极变换
- 第十七讲 二次曲线的射影分类
- 第十八讲 二次曲线的仿射理论
- 第十九讲 二次曲线的仿射分类
- 4. 概率论
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- （一）随机事件及其概率
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- §1.1 随机事件
- §1.2 概率
- §1.3 概率的加法法则
- §1.4 条件概率与乘法法则
- §1.5 独立试验概型
- （二）随机变量及其分布
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- §2.1 随机变量的概念
- §2.2 随机变量的分布
- §2.3 二元随机变量
- §2.4 随机变量函数的分布
- （三）随机变量的数字特征
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- §3.1 数学期望
- §3.2 数学期望的性质
- §3.3 条件期望
- §3.4 方差、协方差
- （四）几种重要的分布
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- §4.1 二项分布
- §4.2 超几何分布
- §4.3 普哇松分布
- §4.4 指数分布
- §4.5 G-分布
- §4.6 正态分布
- （五）大数定律与中心极限定理
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- §5.1 大数定律的概念
- §5.2切贝谢夫不等式
- §5.3 切贝谢夫定理
- §5.4 中心极限定理
- 第二
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- 1. 抽象代数
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- 第1章 群
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- 1.1 半群与群
- 1.2 子群与陪集
- 1.3 正规子群与商群
- 1.4 群的同态与同构
- 1.5 循环群
- 1.6 对称群与交错群
- 1.7 群的扩张与Jordan-Holder定理
- 1.8 可解群和幂零群
- 1.9 群在集合上的作用
- 1.10 Sylow定理
- 第2章 环
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- 2.1 环的定义与基本性质
- 2.2 理想与商环
- 2.3 四元数体
- 2.4 环的同态
- 2.5 整环上的因子分解
- 2.6 素理想与极大理想
- 2.7 主理想整环与欧几里得环
- 2.8 环上的多项式
- 2.9 整环上的多项式环
- 2.10 对称多项式
- 第3章 模
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- 3.1 模的基本概念
- 3.2 环上的矩阵与模的自同态环
- 3.3 自由模
- 3.4 主理想整环上的有限生成模
- 3.5 有限生成的交换群
- 3.6 线性变换的标准形
- 第4章 域
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- 4.1 域的基本概念
- 4.2 代数扩张
- 4.3 尺规作图
- 4.4 分裂域
- 4.5 Galois群
- 4.6 Galois扩张与Galois对应
- 4.7 有限域
- 4.8 可分多项式与完备域
- 4.9 可分扩张
- 4.10 Galois逆问题
- 4.11 Abel扩张
- 4.12 方程的根式解
- 2. 复变函数
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- 第1章 复数与复变函数
-
- 1.1 复数的定义及其运算
- 1.2 复数的几何表示
- 1.3 扩充平面和复数的球面表示
- 1.4 复数列的极限
- 1.5 开集、闭集和紧集
- 1.6 曲线和域
- 1.7 复变函数的极限和连续性
- 第2章 全纯函数
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- 2.1 复变函数的导数
- 2.2 Cauchy-Riemann方程
- 2.3 导数的几何意义
- 2.4 初等全纯函数
- 2.5 分式线性变换
- 第3章 全纯函数的积分表示
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- 3.1 复变函数的积分
- 3.2 Cauchy积分定理
- 3.3 全纯函数的原函数
- 3.4 Cauchy积分公式
- 3.5 Cauchy积分公式的一些重要推论
- 3.6 非齐次Cauchy积分公式
- 3.7 一维a问题的解
- 第4章 全纯函数的Tayior展开及其应用
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- 4.1 Weierstrass定理
- 4.2 幂级数
- 4.3 全纯函数的Taylor展开
- 4.4 辐角原理和Rouch6定理
- 4.5 最大模原理和Schwarz引理
- 第5章 全纯函数的L,aurent展开及其应用
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- 5.1 全纯函数的Laurent展开
- 5.2 孤立奇点
- 5.3 整函数与亚纯函数、
- 5.4 残数定理
- 5.5 利用残数定理计算定积分
- 5.6 一般域上的Mittag-Leffler定理、Weierstrass因子分解定理和插值定理
- 5.7 特殊域上的Mittag-Leffler定理、Weierstrass因子分解定理和Blaschke乘积
- 第6章 全纯开拓
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- 6.1 Schwarz对称原理
- 6.2 幂级数的全纯开拓
- 6.3 多值全纯函数与单值性定理
- 第7章 共形映射
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- 7.1 正规族
- 7.2 Riemann映射定理
- 7.3 边界对应定理
- 7.4 Schwarz-Christoffel公式
- 第8章 调和函数与次调和函数
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- 8.1 平均值公式与极值原理
- 8.2 圆盘上的Dirichlet问题
- 8.3 上半平面的Dirichlet问题
- 8.4 次调和函数
- 第9章 多复变数全纯函数与全纯映射
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- 9.1 多复变数全纯函数的定义
- 9.2 多圆柱的Cauchy积分公式
- 9.3 全纯函数在Reinhardt域上的展开式
- 9.4 全纯映射的导数
- 9.5 Cartan定理
- 9.6 球的全纯自同构和Poincare定理
- 3. 常微分方程
- 4. 数学模型
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- 第一讲 引言
- 第二讲 驾驶问题
- 第三讲 流水线设计
- 第四讲 投资效益、加工次序及其它
- 第五讲 实验数据的分解问题
- 第六讲 房屋隔热经济效益核算
- 第七讲 为什么制造三级运载火箭
- 第八讲 万有引力定律
- 第九讲 分子模型
- 第十讲 用放射性同位素测定局部脑血流量
- 第十一讲 糖尿病检测模型
- 第十二讲 生物群体模型
- 第十三讲 植物生长模型
- 第十四讲 从容器中流出的液体
- 第十五讲 风险决策
- 第十六讲 对策模型
- 第十七讲 投入产出综合平衡模型
- 第十八讲 网络流及其应用
- 第十九讲 交通流模型和路口交通管理
- 第二十讲 人口的预测与控制
- 第二十一讲 激光钻孔
- 第二十二讲 变分模型与有限元
- 第二十三讲 电阻率测井的数学模型
- 第二十四讲 计算复杂性简介
- 第三
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- 1. 数论基础
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- 第一章 可除性理论
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- 1.1 基本的概念和定理
- 1.2 最大公约数
- 1.3 最小公倍数
- 1.4 欧几里得算法与连分式的关系
- 1.5 素数
- 1.6 素因子分解式的唯一性
- 第二章 重要的函数
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- 2.1 函数[x]和{x}
- 2.2 对约数展开的和式
- 2.3 麦比乌斯函数
- 2.4 欧拉函数
- 第三章 同余式
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- 3.1 基本概念
- 3.2 同余式与等式相似的性质
- 3.3 同余式进一步的性质
- 3.4 完全剩余组
- 3.5 与模互素的剩余组
- 3.6 欧拉定理和费马定理
- 第四章 一个未知数的同余式
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- 4.1 基本概念
- 4.2 一次同余式
- 4.3 一次同余式组
- 4.4 素数模的任意次同余式
- 4.5 复合数模的任意次同余式
- 第五章 二次同余式
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- 5.1 一般性定理
- 5.2 勒让德符号
- 5.3 雅可比符号
- 5.4 复合数模的情形
- 第六章 元根和指数
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- 6.1 一般性定理
- 6.2 模pa和2pa的元根
- 6.3 模pa和2pa的元根的求法
- 6.4 模pa和2pa的指数
- 6.5 前面理论的一些推论
- 6.6 模2a的指数
- 6.7 任意复合数模的指数
- 2. 群与表示
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- 第一章 群表示论的基本概念
- 第二章 有限群的不可约表示
- 第三章 群的特征标
- 第四章 群的表示的张量积，群的直积的表示
- 第五章 诱导表示和诱导特征标
- 第六章 无限群的线性表示
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- §1 群的无限维线性表示
- §2 拓扑空间
- §3 拓扑群，紧群
- §4 拓扑群的线性表示
- §5 紧群上的不变积分
- §6 紧群的线性表示
- §7 局部紧交换群的酉特征标群
- §8 局部紧的Hausdorfr拓扑群上的Haar测度
- §9 局部紧的Hausdorff拓扑群的酉表示(或正交表示)
- 3. 代数几何
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- 第一章 代数簇
- 第二章 概型
- 第三章 上同调
- 第四章 曲线
- 第五章 曲面
- 附录A 相交理论
- 附录B 超越方法
- 附录C Weil猜想
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- 4. 拓扑学
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- 第一部分 一般拓扑学
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- 第 1 章 集合论与逻辑
- 第 2 章 拓扑空间与连续函数
- 第 3 章 连通性与紧致性
- 第 4 章 可数性公理和分离公理
- 第 5 章 Tychonoff 定理
- 第 6 章 度量化定理与仿紧致性
- 第 7 章 完备度量空间与函数空间
- 第 8 章 Baire 空间和维数论
- 第二部分 代数拓扑学
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- 第 9 章 基本群
- 第 10 章 平面分割定理
- 第 11 章 Seifert-van Kampen 定理
- 第 12 章 曲面分类
- 第 13 章 覆叠空间分类
- 第 14 章 在群论中的应用
- 5. 微分几何
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- 第一部分 曲线与曲面的局部微分几何
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- 第一章 欧氏空间
- 第二章 曲线的局部理论
- 第三章 曲面的局部理论
- 第四章 标架与曲面论基本定理
- 第五章 曲面的内蕴几何学
- 第二部分 整体微分几何选讲
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- 第六章 平面曲线的整体性质
- 第七章 曲面的若干整体性质
- 第八章 常Gauss曲率曲面
- 第九章 常平均曲率曲面
- 第十章 极小曲面
- 6. 微分流形
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- 第零章 复习和补充
- 第一章 微分方程
- 第二章 微分流形
- 第三章 单位分解、密度、曲线
- 第四章 临界点
- 第五章 流形上的微分法
- 第六章 流形上的积分法
- 第七章 映射度理论
- 第八章 曲线的局部理论
- 第九章 平面曲线的整体理论
- 第十章 R0的曲面的局部理论的简短导引
- 第十一章 曲面的整体理论的简短导引
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- 第一部分 2维整体黎曼流形
- 第二部分 嵌入或浸入到R3内的曲面
- 7. 实变函数
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- 第一章 无穷集
- 第二章 点集
- 第三章 可测集
- 第四章 可测函数
- 第五章 有界函数的勒贝格积分
- 第六章 可和函数
- 第七章 平方可和函数
- 第八章 有界变差函数、斯蒂尔切斯积分
- 第九章 绝对连续函数、勒贝格不定积分
- 第十章 奇异积分、三角级数、凸函数
- 第十一章 二维空间的点集
- 第十二章 多元可测函数及其积分
- 第十三章 集函数及其在积分论中的应用
- 第十四章 超限数
- 第十五章 贝尔分类
- 第十六章 勒贝格积分的某些推广
- 第十七章 在无界区域上定义的函数
- 第十八章 泛函分析的某些知识
- 附录
- 8. 泛函分析
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- 第0章 绪论
- 第一章 距离空间
- 第二章 赋范空间
- 第三章 内积空间与Hilbert空间
- 第四章 有界线性算子
- 第五章 共轭空间和共轭算子
- 第六章 线性算子的谱理论
- 9. 偏微分方程
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- 第1章 应用与方法概述
- 第2章 傅里叶级数
- 第3章 直角坐标中的偏微分方程
- 第4章 极坐标与柱面坐标中的偏微分方程
- 第5章 球面坐标中的偏微分方程
- 第6章 施图姆-刘维尔理论及其在工程技术中的应用
- 第7章 傅里叶变换及其应用
- 第8章 拉普拉斯变换和汉克尔变换及其应用
- 第9章 有限差分数值方法
- 第10章 抽样和离散傅里叶分析及其在偏微分方程中的应用
- 第11章 量子力学引论
- 第12章 格林函数和共形映射
- 第四
-
- 1. 几何学
- 2. 数理逻辑
- 3. 组合数学
- 4. 密码学
- 5. 模形式初步
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- 第一章基本定义 1
- 第二章案例研究 35
- 第三章模曲线的解析理论 64
- 第四章维数公式与应用 109
- 第五章Hecke 算子通论 132
- 第六章同余子群的Hecke 算子 156
- 第七章L-函数 192
- 第八章椭圆函数和复椭圆曲线 219
- 第九章上同调观模形式 256
- 第十章模形式与模空间 290
- 附录A 分析学背景 327
- 附录B Riemann 曲面背景
- 附录C 算术背景
- 第五
第一
1. 数学分析
第1章 数学基础
逻辑
集合
映射是指将一个集合中的元素对应到另一个集合中的元素的过程。在计算机科学中，映射通常表示为一个函数，它将某个输入映射到一个输出。例如，可以将英文字母映射到二进制代码，或将一个网站的URL映射到它的IP地址。映射在编程语言中也经常被用来表示键值对（key-value pairs），其中每个键对应一个值。
第2章 数系
实数系
实数可以被定义为具有无限小数部分的数，包括有理数和无理数。有理数是可以表示为两个整数的比例的数，如整数、分数、小数。无理数是不能表示为两个整数的比例的数，如根号2、圆周率(pi)等。实数可以进行加、减、乘、除、开方等运算，并通过实数轴来表示和比较大小。
实数是所有有理数和无理数的集合。实数可以进行加、减、乘、除等基本的四则运算，同时也可以进行取绝对值、开方等运算。
-
加法：实数加法是指对两个实数a和b进行加法运算，得到的结果为a + b。两个实数相加的结果仍为实数。
-
减法：实数减法是指对两个实数a和b进行减法运算，得到的结果为a - b。两个实数相减的结果仍为实数。
-
乘法：实数乘法是指对两个实数a和b进行乘法运算，得到的结果为a × b。两个实数相乘的结果仍为实数。
-
除法：实数除法是指对两个实数a和b进行除法运算，得到的结果为a ÷ b。在除法运算中，被除数为实数，除数为非零实数，商为实数。
此外，还有以下几种运算：
-
取绝对值：对于实数a，它的绝对值表示为|a|，即a的大小，不考虑其正负。若a > 0，则|a| = a，若a < 0，则|a| = -a。
-
开方：对于非负实数a，它的平方根表示为√a，即一个数的平方等于a，则这个数称为a的平方根。
-
幂运算：实数a的n次幂表示为an，即a自乘n次的结果。
-
对数运算：对数是幂运算的逆运算，若b是一个正实数且b≠1，a是一个正实数，则b的以a为底的对数表示为logab，即b等于多少次幂能得到a这个数。
实数的性质包括：
-
有序性：任意两个不相等的实数可以比较大小，即实数集合是一个有序集合。
-
密集性：实数集合中，任意两个不相等的实数之间，都存在无数个实数。
-
稠密性：实数集合中，区间内一定存在实数。
-
连续性：实数集合中的任意一个区间都是一个连续的实数集合。
-
存在性：实数集合包含无数个有理数和无理数。
-
传递性：如果a
-
对称性：如果a=b，则b=a。
-
反对称性：如果a
-
传递性：如果a
-
乘法分配律、结合律和交换律。
-
加法分配律、结合律和交换律。
-
对于任意实数a，都存在一个相反数-b，使得a+b=0。
-
对于任意实数a，如果a≠0，则存在一个倒数1/a，使得a*(1/a)=1。
-
实数满足数学归纳法。
复数系
复数系（Complex numbers）是由实数集和虚数集构成的数域，其中虚数定义为 i = − 1 i=\sqrt{-1} i=−1，表示实轴和虚轴组成的平面上的点。一般地，一个复数可以表示为 a + b i a+bi a+bi 的形式，其中 a a a 和 b b b 都是实数，被称为实部和虚部。
复数系在数学、工程学和物理学中都有广泛的应用，例如电路分析、信号处理、量子力学等。复数系的性质也非常丰富，例如复数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律等，每个非零复数都有一个相反数，也有幂运算和开方运算。
广义实数系
广义实数系是一个数学概念，是指在传统实数系中无法表示的数，例如无限大和无限小。这些数可以通过柯西序列或超限数的概念来定义，并且具有许多传统实数系中的性质。
广义实数系是实数系的扩充，它包括了传统实数系中不存在的数，可以表示那些无法用传统实数系来表示的数值，例如无限大和无限小。这些数在某些数学问题中非常有用，例如极限、连续性和积分等。广义实数系包括了实数系、无穷大、无穷小和非标准实数等。其中，无穷大和无穷小是特殊的广义实数，它们常常用于描述某些函数在极限情况下的行为。
第3章 拓扑
度量空间
紧性
连通性
R上的拓扑性质
PART A 数列
第A1章 数列
定义：数列极限
定理：实数的完备性定理
第A2章 数列差分
均差
差分数列的极限
第A3章 数列求和
Abel变换
三角函数求和
Bernoulli数与Faulhaber公式
第A4章 数项级数
级数的敛散性
收敛判别法
绝对收敛
第A5章 特殊数列
调和数列
正弦数列
正切数列
PART B 函数
第B1章 函数
定义
- 函数的极限
- 初等函数
连续性
- 连续函数
- 一致连续
- Hölder条件
- 压缩映照
- 稠密子集唯一确定
单调性
单调函数
第B2章 微分
定义
- 导数的定义
- 高阶导数
定理
- 费马引理与罗尔定理
- Mean Value Theorem
- 泰勒展开与洛必达法则
- 单调性与凹凸性
- Darboux定理
- 反导数
研讨
处处连续处处不可导函数
第B3章 Riemann积分
定义
Riemann积分的定义
定理
- 可积的条件
- 积分的性质
- 微积分基本定理
- 积分中值定理
研讨
- π的无理性证明
- Stirling近似
- Wallis乘积
第B4章 函数项级数
函数项级数
- 一致收敛
- 等度连续
- Weierstrass逼近定理
- 幂级数
- Fourier级数
Fourier级数
Fourier变换
第B5章 特殊函数
- Gamma函数
- Riemann-zeta函数
- 椭圆积分与椭圆函数
PART C 多元函数
第C1章 多元函数
定义：多元函数
定理：压缩映照原理
第C2章 多元函数的微分
定义：多元函数的导数
定理：
- 拟微分平均值定理
- 多元函数的极值
- 反函数和隐函数定理
第C3章 微分形式的积分
微分形式
向量场和1-形式
微分形式
积分
曲线积分
体积积分
曲面积分
Stokes定理
研讨
n维球的体积
第C4章 含参变量的积分
含参积分的连续性
Leibniz积分法则
累次积分换序
第C5章 特殊多元函数
- Beta函数
- 超几何函数
进阶
第1章 实分析初步
- 测度
- 可测函数
- Lebesgue积分
第2章 复分析初步
- 复平面的拓扑
- 全纯函数
- 复变函数的积分