(7,4)汉明码在BPSK系统下的性能-MATLAB基带仿真

1. 产生一定长度的值为0或1的随机序列$d(t)$。
2. 根据监督矩阵，将初始数据序列映射为编码后的二元序列$s(t)$。
3. 将$s(t)$映射到BPSK星座图上的星座点。
4. 产生高斯白噪声，将调制后的信号通过AWGN信道，得到输出信号$r(t)$。
5. 利用最小距离判决准则实现检测，得到解调信号$\hat{s}(t)$。
6. 根据监督矩阵及校正子，对$\hat{s}(t)$进行解码，得到解码信号$\hat{d}(t)$。
7. 绘制（7,4）汉明码在BPSK系统下的仿真误比特率，与BPSK理论误比特率曲线进行对比分析。

(7,4)汉明码原理

对于(7,4)汉明码，$k=4$，$n=7$，监督元位数$r=3$，满足$2^r-1=n$。如果给定了监督矩阵，例如

$[H]=\left[P{I}_r\right]=\left[\begin{array}{llllllll}0& 1& 1& 1& ⋮& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 1& ⋮& 0& 1& 0\\ 1& 1& 0& 1& ⋮& 0& 0& 1\end{array}\right]$

则这种汉明码也就确定了，也就是说，对于任意给定的信息码组，都可以由下式求出相应的监督位，即

$X_5=X_2\oplus X_3\oplus X_4$
$X_6=X_1\oplus X_3\oplus X_4$
$X_7=X_1\oplus X_2\oplus X_4$

若用方程组来表示，则可以写成

$\left[\begin{array}{ccccccc}0& 1& 1& 1& 1& 0& 0\\ 1& 0& 1& 1& 0& 1& 0\\ 1& 1& 0& 1& 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_1\\ X_2\\ ⋮\\ X_7\end{array}\right]=[0]$

因此，知道了信息为$X_1$，$X_2$，$X_3$，$X_4$就可以确定监督位$X_5$，$X_6$，$X_7$，这样就得到了(7,4)汉明码。
译码时，可以用校验矩阵

$[S]=[H]\left[\begin{array}{c}{X}_1^{\prime }\\ X_2^{\prime }\\ ⋮\\ X_7^{\prime }\end{array}\right]$

或者

$S_1=X_2^{\prime }\oplus X_3^{\prime }\oplus X_4^{\prime }\oplus X_5^{\prime }$
$S_2=X_1^{\prime }\oplus X_3^{\prime }\oplus X_4^{\prime }\oplus X_6^{\prime }$
$S_3=X_1^{\prime }\oplus X_2^{\prime }\oplus X_4^{\prime }\oplus X_7^{\prime }$

根据$S_1$，$S_2$,$S_3$的取值的不同，可以确定错误的位置。如下表所示。

$S_1$	$S_2$	$S_3$	错误位置
0	0	0	无错
0	1	1	$X_1^{\prime }$
1	0	1	$X_2^{\prime }$
1	1	0	$X_3^{\prime }$
1	1	1	$X_4^{\prime }$
1	0	0	$X_5^{\prime }$
0	1	0	$X_6^{\prime }$
0	0	1	$X_7^{\prime }$

BPSK发送端星座图：

BPSK相干解调：
最小距离判决准则：

$\hat{s}(t)=\underset{1\le m\le M}{\mathrm{argmin}}\Vert r(t)-s_m(t){\Vert }_2^2$

BPSK理论误比特率：

$P_b=Q(\sqrt{\frac{2{\mathcal{E}}_b}{N_0}})$

仿真结果：

MATLAB基带仿真程序：

clc
clear
close all
% Title:  (7,4)汉明码在BPSK调制系统中的性能 %
% Data:    2020.01.20 %
% Author:  K.X.Song   % 
L_data = 1000000;                       % 原始数据长度
L_code = L_data/4*7;                    % 编码后数据长度
data = round(rand(1,L_data));           % 原始数据
EbN0_dB = 0:10;                         % Eb/N0 dB形式
EbN0 = 10.^(EbN0_dB/10);                % Eb/N0
Eb = 7/4;                               % 每比特能量
N0 = Eb ./ EbN0;                        % 噪声功率
error = zeros(1,length(EbN0_dB));       % 预置错误个数
ber = zeros(1,length(EbN0_dB));         % 预置仿真误比特率
tber_BPSK = zeros(1,length(EbN0_dB));   % 预置BPSK理论误比特率
tber_BPSK_Hamming = zeros(1,length(EbN0_dB));   % 预置BPSK+(7,4)汉明码理论误比特率
% (7,4)汉明码
code = zeros(1,L_code);                  % 预置编码后的序列
for k = 0:L_data/4-1
    code(1,k*7+1) = data(1,k*4+1);      % 编码方法详见技术文档
    code(1,k*7+2) = data(1,k*4+2);
    code(1,k*7+3) = data(1,k*4+3);
    code(1,k*7+4) = data(1,k*4+4);
    code(1,k*7+5) = xor(data(1,k*4+2),xor(data(1,k*4+3),data(1,k*4+4)));    
    code(1,k*7+6) = xor(data(1,k*4+1),xor(data(1,k*4+3),data(1,k*4+4)));
    code(1,k*7+7) = xor(data(1,k*4+1),xor(data(1,k*4+2),data(1,k*4+4)));
end
send = (code - 1/2) * 2;                % BPSK调制
for q = 1:length(EbN0_dB)
    noise = sqrt(N0(q)/2) * randn(1,L_code);    % AWGN
    receive = send + noise;                     % 接收数据
    demod = zeros(1,L_code);                    % 预置解调数据
    decode = zeros(1,L_data);                   % 预置解码数据
    for w = 1:L_code
        if (receive(w) >= 0)
            demod(w) = 1;              % 数轴右侧 ->  1
        else
            demod(w) = 0;              % 数轴左侧 ->  0
        end
    end
    for k = 0:L_data/4-1
        S(1) = xor(demod(1,k*7+2),xor(demod(1,k*7+3),xor(demod(1,k*7+4),demod(1,k*7+5))));    % 校正子详见技术文档
        S(2) = xor(demod(1,k*7+1),xor(demod(1,k*7+3),xor(demod(1,k*7+4),demod(1,k*7+6))));
        S(3) = xor(demod(1,k*7+1),xor(demod(1,k*7+2),xor(demod(1,k*7+4),demod(1,k*7+7))));
        if (S == [0,1,1])
            demod(1,k*7+1) = ~demod(1,k*7+1);
        elseif (S == [1,0,1])
            demod(1,k*7+2) = ~demod(1,k*7+2);
        elseif (S == [1,1,0])
            demod(1,k*7+3) = ~demod(1,k*7+3);
        elseif (S == [1,1,1])
            demod(1,k*7+4) = ~demod(1,k*7+4);
        elseif (S == [1,0,0])
            demod(1,k*7+5) = ~demod(1,k*7+5);
        elseif (S == [0,1,0])
            demod(1,k*7+6) = ~demod(1,k*7+6);
        elseif (S == [0,0,1])
            demod(1,k*7+7) = ~demod(1,k*7+7);
        end
        decode(1,k*4+1) = demod(1,k*7+1);
        decode(1,k*4+2) = demod(1,k*7+2);
        decode(1,k*4+3) = demod(1,k*7+3);
        decode(1,k*4+4) = demod(1,k*7+4);
    end
    for w = 1:L_data
        if (decode(w) ~= data(w))
            error(q) = error(q) + 1;    % 错误比特个数
        end
    end
    ber(q) = error(q) / L_data;         % 仿真误比特率
    tber(q) = qfunc(sqrt(2*EbN0(q)));   % 理论误比特率
end
figure
semilogy(EbN0_dB,ber,'M-X',EbN0_dB,tber,'B-O');     % 画图
grid on;                                        % 坐标轴开启
axis([0 10 10^-5 10^-1])                        % 限制作图范围
xlabel('Eb/N0 (dB)');                           % 横坐标
ylabel('BER');                                  % 纵坐标
legend('BPSK+(7,4)汉明码仿真误比特率','BPSK理论误比特率');   % 图例