【JZOJ 5887】【NOIP2018模拟9.27】作业

Description

小L在完成他的集合论作业时遇到了这样一题：一颗n个节点的树，定义F(u,d)为到u距离不超过d的点组成的集合，求不同的F(u,d)的数量。

Solution

先抛出结论：$Ans=\sum min(f_x+2,g_x)$
$f_x$表示当然点子树中，距离最远的点的距离（经过边数）
$g_x$表示当前点往它父亲走，除去当前子树，距离最远的点的距离（经过边数）

证明：
我们当前的统计规则是：对于同一种情况，我们在深度小的地方统计；
显然有结论：

• 结论1：对于点x，确认d，如果每一条出边所在的子树都没有覆盖满，那么这种情况一定是独一无二的；
• 结论2：在上述规则下，每个点d的取值一定包括0的连续一段数，也就是说，只要求出了每个点d的上界即可；

我们考虑怎么求上界，
每个点d的取值必须满足以下限制：

1. 不能把它父亲所在的子树填满；
2. 当子树填满时，不能往上走超过$f_x+2$条边；

限制1显然，把父亲填满了肯定会重复，
限制2可以这么理解：当前点x的父亲为y，当y的$d=f_x+1$时，子树x会被填满，其他子树与y距离小于等于$f_x+1$的点会被选中，
当x的$d=f_x+2$时，子树x也会被填满，同时往上走到y，同样的，y其他子树与y距离小于等于$f_x+1$的点也会被选中，
所以这两种情况是等价的，

现在你求出来的每个点必须严格小于一个值设为D，那么d的取值为0~(D-1)，
所以直接把D相加即可

复杂度：$O(n)$

Code

#include 
#include 
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define fod(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define efo(i,q) for(int i=A[q];i;i=B[i][0])
#define min(q,w) ((q)>(w)?(w):(q))
#define max(q,w) ((q)<(w)?(w):(q))
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=200500;
int read(int &n)
{
	char ch=' ';int q=0,w=1;
	for(;(ch!='-')&&((ch<'0')||(ch>'9'));ch=getchar());
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	for(;ch>='0' && ch<='9';ch=getchar())q=q*10+ch-48;n=q*w;return n;
}
int m,n;
LL ans;
int a[N];
int B[2*N][2],A[N],B0;
int dp[N];
void link(int q,int w)
{
	B[++B0][0]=A[q],A[q]=B0,B[B0][1]=w;
	B[++B0][0]=A[w],A[w]=B0,B[B0][1]=q;
}
void dfsf(int q,int fa)
{
	dp[q]=0;
	efo(i,q)if(B[i][1]!=fa)dfsf(B[i][1],q),dp[q]=max(dp[q],dp[B[i][1]]+1);
}
void dfs(int q,int fa,int e1)
{
	int mx=0,mx1=0,mx0=-1;
	efo(i,q)if(B[i][1]!=fa)
	{
		if(dp[B[i][1]]+1>=mx)
		{
			mx1=mx,mx=dp[B[i][1]]+1,mx0=B[i][1];
		}
		else mx1=max(mx1,dp[B[i][1]]+1);
	}
	if(fa)ans+=(LL)min(e1,dp[q]+2);
	else ans+=dp[q]+1;
	efo(i,q)if(B[i][1]!=fa)dfs(B[i][1],q,max(e1+1,(mx0==B[i][1]?mx1:mx)+1));
}
int main()
{
	freopen("homework.in","r",stdin);
	freopen("homework.out","w",stdout);
	int q,w,_;
	read(_);
	fo(I_,1,_)
	{
		read(n);
		fo(i,1,n-1)read(q),read(w),link(q,w);
		ans=0;
		dfsf(1,0);
		dfs(1,0,0);

		printf("%lld\n",ans);
		B0=0;
		fo(i,1,n)A[i]=0;
	}
	return 0;
}