【数据结构】图的存储结构：邻接矩阵

图的存储结构

由于图的任意两个顶点之间都可能存在联系，因此无法以数据元素在存储区中的物理位置来表示元素之间的关系，即图没有顺序存储结构，但我们可以用二维数组（矩阵）来表示元素之间的关系——邻接矩阵。除此之外还有链式存储结构，包括邻接表、十字链表和邻接多重表。其中邻接矩阵和邻接表最常用。

 

邻接矩阵

邻接矩阵（Adjacency Matrix）是表示顶点之间相邻关系的矩阵，存储在二维数组中。

1）在无向图中，若顶点v1与v2有联系，v1与v3没有联系，则在矩阵中，(1,2)和(2,1)的值为1，(1,3)和(3,1)的值为0，对称矩阵；

2）在无向网中，若边(v1,v2)的权为7，v1与y3没有联系，则在矩阵中，(1,2)和(2,1)的值为7，(1,3)和(3,1)的值为∞（无限）；

3）在有向图中，若v1为弧尾，v2为弧头，v2不指向v1，则在矩阵中，(1,2)的值为1，(2,1)的值为0；

4）有向网的情况可以类推。

*需要注意的是，矩阵和二维数组的“坐标”含义是不同的，矩阵的(1,1)等价于二维数组中的[0,0]。

邻接矩阵仅记录着任意两点间的联系，我们还需要一个一维数组来记录每个顶点的信息，有边有顶点，这样才能构成一个完整的图。

清楚邻接矩阵的使用方法后，我们可以轻松写出以它为基础的图的结构形式。

为了避免概念的混淆，之后我会把图称作邻接矩阵图（AMGraph）。

/*邻接矩阵的结构表示*/

#include 
using namespace std;

#define MaxInt 32767       /*表示∞（无限）*/
#define MaxVNum 100        /*表示图中最多可以包含的顶点数*/

typedef char Vextype;      /*将顶点的数据类型设为字符型，如果你喜欢也可以把它设成更复杂的结构体*/
typedef int Arctype;       /*将边的权值设为整型*/

typedef struct
{
    Vextype vexs[MaxVNum];              /*用来保存顶点信息的一维数组*/
    Arctype arcs[MaxVNum][MaxVNum];     /*邻接矩阵*/
    int vexnum, arenum;                 /*记录图的顶点数和边数*/
} AMGraph;                              /*将结构体命名为AMGraph*/

​

 

写出邻接矩阵图的结构形式后，可以开始往里面放东西了。

下面以“无向网”为例写一下邻接矩阵表示法的使用方法：

<思路>

（1）数一下无向网有多少个顶点（vexnum），多少条边（arcnum），然后将数值输入。当然，你也可以凭空造一个网，在先前定义的MaxVNum内赋值就行。

（2）在一维数组vex内输入顶点信息，一个循环完成。

（3）初始化邻接矩阵，将每个权值初始化为MaxInt。为什么呢？因为矩阵里除了若干个权值外，剩余的都是MaxInt，不可能先把权值填好，再来一个个把没有权值的地方填上MaxInt，这样效率极低而且繁琐。

（4）构造邻接矩阵。依次输入每条边依附的两个顶点v1和v2以及其权值w并赋值。因为输入的v1、v2有可能不在0~MaxInt的范围内，而且矩阵和二维数组的“坐标”含义是不同的，即矩阵的(1,1)等价于二维数组中的[0,0]，所以需要一个函数LocateVex()帮助判断、转化并确定“坐标”。

int CreatUDN(AMGraph &G)      /*UDN意为Omnidirectional Net，无向网*/
{                             /*上面<思路>中写了的东西下面就不再啰嗦喽*/
    int i, j, w;
    cin>>G.vexnum>>G.arcnum;
    
    for(i = 0; i < G.vexnum; i++) cin>>G.vexs[i];

    for(i = 0; i < G.vexnum; i++)
        for(j = 0; j < G.vexnum; j++)
            G.arcs[i][j] = MaxInt;

    for(int k = 0; k < G.arcnum; k++)
    {
        cin>>v1>>v2>>w;
        i = LocateVex(G, v1); j = LocateVex(G, v2);
        G.arc[i][j] = G.arc[j][i] = w;
    }
 
    return 0;
}
    
    

 

邻接矩阵的优缺点：

1）优点：

a. 便于判断两个顶点是否有联系。确定顶点后再确定矩阵上的相应位置是否非0或非MaxInt即可。

b. 便于计算各个顶点的度。其实也不用计算，数就完事了。对于无向图，多少个(1,n)的值为1，v1的度就是多少；对于有向图，多少个<1,n>的值为1，v1的出度就是多少，多少个的值为1，v1的入度就是多少。

2）缺点：

a. 不便于增加和删除顶点。非链式结构的通病。

b. 不便于统计边的数目，需要遍历邻接矩阵的所有元素，时间复杂度为O(n²)。无向图遍历完后还要除以2。

c. 空间复杂度高。非链式结构的另一通病，稀疏图（边或弧数较少）尤其浪费空间。

 

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