非对称加密RSA原理个人学习总结

之前公司总监再学习会上讲网络通信加密的知识，个人做个简单的总结。部分摘自网络，本人菜鸟如有不对，请轻喷！

加密通信有对称加密：如 AES ,DES,3DES 个人工作对此类用的比较少，也没过多学习，就不在写了

现在网络通讯较安全也用的最多的应该是非对称加密RSA，这次主要是总结RSA的运行原理！红色字体为自己的理解

来源：http://www.xuebuyuan.com/1399981.html

一、加密过程

A向B进行通信，首先B要生成一个公钥一个私钥。私钥只有B所有，公钥给A做加密使用。A用B的公钥对要传送的信息进行加密，然后B用自己的私钥进行解密内容。

二、加密的数学原理（本人表示看不懂，先贴下来）

(一)  互质关系：两个数a和b没有除1外的其他公约数，则a与b互质

1.        任意两个质数构成互质关系

2.        两个数中，如果大数为质数，则两数必定互质

3.        1和任意整数互质

4.        当p>1时，p与p-1互质(相邻两数互质)

5.        当p=2n+1(n>0且n为整数)时，p与p+2互质(相连的两个奇数互质)

(二)  求欧拉函数：

定义：与正整数n互质且小于正整数n的正整数的个数。通常使用ψ(n)表示。

 

求取与正整数n互质的正整数的个数ψ(n),且ψ(n)满足ψ(n)∈(2,n)

1.        如果n=1,则ψ(n)=1

2.        如果n是质数,则ψ(n)=n-1

3.        如果n是质数p的次方,则：ψ(p^k)=p^k-p^(k-1) = p^k*(1-1/p)

4.        若p1和p2互质,n=p1*p2,则ψ(n)= ψ(p1*p2)= ψ(p1) ψ(p2)

5.        任意一个大于1的正整数都可以写成一系列质数的积

6.        根据定理5，推导欧拉定理：

因为

         n = (p1^k1)* (p2^k2)*……(pr^kr)   (p1~pr都是质数)

所以

         ψ(n)= ψ((p1^k1)) ψ(p2^k2) ……ψ(pr^kr)   定理4

         ψ(n)= (p1^k1)*(1-1/p1) * (p2^k2)(1-1/p2)……(pr^kr)*(1-1/pr)   定理3

         ψ(n)= (p1^k1)* (p2^k2)*……(pr^kr) * (1-1/p1) (1-1/p2)…… (1-1/pr)

         ψ(n)=n (1-1/p1) (1-1/p2)…… (1-1/pr)  

(三)  欧拉定理：

正整数a与n互质，则下式恒成立

a^ψ(n) ≡1(mod n)

即：

         a的ψ(n)次幂除以n,余数恒为1

(四)  模反元素

如果两个正整数a和n互质,则必定存在整数b使得a*b-1被n除余数为1

ab ≡1(mod n)

其中b被称为a的模反元素

四、RSA算法详解：假设A和B要通信

(一)  生成密钥

1.        公钥

1)        随机生成两个不相等的质数p和q(质数越大越安全)

2)        计算n,n=p*q 则n的二进制位数就是密钥的长度。

3)        计算n的欧拉函数ψ(n)        

因为

n=p*q

所以

ψ(n) =ψ(p)* ψ(q)    定理4

又p和q为质数

所以

ψ(p)=p-1    定理2

ψ(q)=q-1    定理2

所以

                   ψ(n) = (p-1)(q-1)

4)        获取随机正整数e,e满足  e∈(1, ψ(n))且e与ψ(n)互质(通常选择65537)

将n和e封装成公钥

        

2.        私钥

1)        计算e对于ψ(n)的模反元素d

e*d=1(modψ(n));

设正整数k, e*d = kψ(n)+1;

 

则ed-kψ(n)=1

  d = (kψ(n)+1) / e;

对于不定方程ax+by=c，设gcd(a,b)=d，如果ax+by=c有解，则d|c----->也就是说如果ed-kψ(n)=1 有解,则gcd(d,-k)能够整除1,而1显然可以被任何整数整除,所以该二元一次方程必定有解(d,k)

 

 (欧几里得定理和扩展欧几里得定理计算二元一次方程)

2)        将n和d封装成私钥

 

 

五、RSA算法可靠性论证

从上文可以统计出整个算法涉及到的量有6个，其中三个为由私钥持有者生成，三个是私钥持有者推导出来的

生成量：p,q,e

推导量：n, ψ(n),d

 

密钥中只有公钥被发布,所有人都可以获取。而公钥由n和e封装起来,因此,如果要破解一份RSA加密过的密文,我们必须使用私钥(私钥由n和d封装而成)

n可以从公钥获取。

 

(假设mc为明文，c为密文，则公钥由n和e封装则意味着求取密文的运算中，n，e和mc是已知数，只有c是未知数；私钥由n和d封装，同上，解密密文的运算中，n，d和c是已知的，只有mc是未知数。)

 

因此,破解私钥的关键就是破解e对于ψ(n)的模反元素d。

         其数学关系是：  e*d=1(modψ(n));

因此需需要先求出ψ(n),而求出ψ(n)需要知道ψ(p)和ψ(q)(因为ψ(n)= ψ(p* ψ(q))

 

而p和q只能通过分解n的质因数获得。所以,整个RSA算法都基于n这个大数不能分解质因数这个基础上。

        

因此，只要n够大，私钥就不会被破解

 

 

六、加解密过程：假设明文是m,c是密文

(一)  加密：使用公钥(n,e)

先将其换算成asc码或者unicode等其他数值。且m必须小于n

则加密算法是

         m^e=c(mod n)

推出

         m^e / n = k ……c这里c就是密文，k我们不关心

(二)  解密：使用私钥(n,d)

1.        简单的说解密就是通过下式求m。(一定可以求解出m)

c^d = m(mod n)

推出
c^d / n = k … … m    m就是明文编码，不关心k

 

查表得出明文

三、RSA算法的签名和验签

假设A要向B发送消息，A要先计算出消息的摘要，然后用自己的私钥加密这段摘要，最后将加密后的消息摘要和消息一起发送给B，被加密的消息摘要就是“签名”。

B收到消息后，也会使用和A相同的方法提取消息摘要，然后使用A的公钥解密A发来的签名，并与自己计算出来的消息摘要进行比较，如果相同则说明消息是A发送给B的，

同时，A也无法否认自己发送消息的给B的事实。

A用自己的私钥给消息摘要加密称为“签名”，B使用A的公钥解密签名文件的过程叫做“验签”.

l  签名过程：

1.        A计算消息m的消息摘要,记为 h(m)

2.        A使用私钥(n,d)对h(m)加密，生成签名s ,s满足：

s=(h(m))^d mod n;

由于A是用自己的私钥对消息摘要加密，所以只用使用s的公钥才能解密该消息摘要，这样A就不可否认自己发送了该消息给B。

3.        A发送消息和签名(m,s)给B。

 

l  验签过程：

1.        B计算消息m的消息摘要,记为h(m);

2.        B使用A的公钥(n,e)解密s,得到

H(m) = s^e mod n;

3.        B比较H(m)与h(m),相同则证明

四、加密和解密的完整过程

（1）.签名过程

1. A提取消息m的消息摘要h(m)，并使用自己的私钥对摘要h(m)进行加密，生成签名s。

2. A将签名s和消息m一起，使用B的公钥进行加密，生成密文c，发送给B。

（2）验签过程:

1. B接收到密文c，使用自己的私钥解密c得到明文m和数字签名s。

2. B使用A的公钥解密数字签名s解密得到H(m)。

3. B使用相同的方法提取消息m的消息摘要h(m)。

4. B比较两个消息摘要。相同则验证成功，不同则验证失败。