查找（顺序查找、插值查找和斐波那契查找）

查找

查找定义：根据给定的某个值，在查找表中确定一个其关键字等于给定值的数据元素（或记录）。

查找表分类 ：静态查找表和动态查找表。

动态查找表 ：在查找过程中同时插入查找表中不存在的数据元素，或者从查找表中删除已经存在的某个数据元素。

平均查找长度 （Average Search Length，ASL）

需和指定key进行比较的关键字的个数的期望值，成为查找算法在查找成功时的平均查找长度。
对于含有n个数据元素的查找表，查找成功的平均查找长度为：ASL = Pi*Ci的和。
Pi：查找表中第i个数据元素的概率。
Ci：找到第i个数据元素时已经比较过的次数。

1.顺序查找 ：

查找 成功时的平均查找长度为：（假设每个数据元素的概率相等） ASL = 1/n(1+2+3+…+n) = (n+1)/2 ;
当查找 不成功时，需要n+1次比较，时间复杂度为O(n);

所以，顺序查找的时间复杂度为O(n)。

/* 顺序查找，a为数组，n为要查找的数组元素个数，key为要查找的关键字*/
int Sequential_Search(int *a, int n, int key)
{
     int i = 0;
     for(; i < n; i++)
     {
          if(a[i] == key)
               return i;
     }
     return 0;
}

/*有哨兵顺序查找-优化最简单的顺序查找*/
/*优化部分：a[0]存放要查找的关键字key，减少了数组越界的比较，如果查找表长度很大，还是比最简单的顺序查找快很多的。a[0] = key的目的就是让上述的简单顺序查找的两次判断修正为一次a[i]与a[0]是否相等的一次判断。
// 利用了算法设计中一个重要的“加速原理”：当算法的一个内循环要测试两个或多个条件时，应力图将其减少成一个条件
int Sequential_Search2(int *a, int n, int key)
{
     int i;
     a[0] = key;
     for(i = n; a[i] != a[0]; i--);
     return i;
}

2.有序表查找

2.1 折半查找

前提： 线性表中的记录必须是关键字有序（通常从小到大），线性表必须采用 顺序存储。

基本思想：取中间记录作为比较对象，若给定值与中间记录的关键字相等，则查找成功；若给定值小于中间记录的关键字，则在中间记录左半区继续查找；否则，在右半区查找。不断重复，知道查找成功或者查找失败为止 。

/*折半查找，非递归*/
int Binary_Search(int *a, int n, int key)
{
     int low, high;
     int mid;
     low = 1;
     high = n;
    
     while(low < high)			//可以有等号 low < = high ,不影响判断。
     {
          mid = (low + high) / 2; 	//可以修正为 mid = (low + high) >> 1;
          if(a[mid] == key)
               return mid;
          if(a[mid] > key)
               high = mid - 1;
          if(a[mid] < key)
               low = mid + 1;		//对于if else语句，可以考虑条件表达式，减少代码的行数。
     }
     return 0;
}
/*折半查找，递归实现*/
int Binary_Search2(int *a, int low, int high, int key)
{
     int mid = (low + high) / 2;
     if(a[mid] == key)
          return mid;
     if(a[mid] > key)
          return Binary_Search2(a, low, mid-1, key);     //有没有return都可以。
     else
          return Binary_Search2(a, mid+1, high, key);     //有没有return都可以。
}

注：

（1）对半查找二叉树T(s,e)的高度为[log2(s-e+2)]；

（2）最坏情况下，关键词比较次数为[log2(N+1)]，且期望复杂性等于O(log2N)；

（3）折半查找的前提条件是需要有序表顺序存储，对于静态查找表，一次排序后不再变化，折半查找能得到不错的效率。但对于需要
频繁执行插入或删除操作的数据集来说，维护有序的排序会带来不小的工作量，那就不建议使用。——《大话数据结构》

2.3斐波那契查找

《斐波那契查找》 http://blog.csdn.net/shenbo2030/article/details/44559937

最坏情况下，时间复杂度为O(log2N)，且其期望复杂度也为O(log2N)。

2.2 插值查找（利用线性插值来决定K的期望地址）

首先考虑一个新问题，为什么一定要是折半，而不是折四分之一或者折更多呢？

打个比方，在英文字典里面查“apple”，你下意识翻开字典是翻前面的书页还是后面的书页呢？如果再让你查“zoo”，你又怎么查？很显然，这里你绝对不会是从中间开始查起，而是有一定目的的往前或往后翻。

同样的，比如要在取值范围1 ~ 10000 之间 100 个元素从小到大均匀分布的数组中查找5， 我们自然会考虑从数组下标较小的开始查找。

经过以上分析，折半查找这种查找方式，还是有改进空间的，并不一定是折半的！

mid = （low+high）/ 2, 即 mid = low + 1/2 * (high - low);

改进为下面的计算机方案（不知道具体过程）：mid = low + (key - a[low]) / (a[high] - a[low]) * (high - low)，也就是将上述的比例参数1/2改进了，根据关键字在整个有序表中所处的位置，让mid值的变化更靠近关键字key，这样也就间接地减少了比较次数。

注：

对于表长较大，而关键字分布又比较均匀的查找表来说，插值查找算法的平均性能比折半查找要好的多。反之，数组中如果分布非常不均匀，那么差值查找未必是很合适的选择；

查找成功或者失败的时间复杂度均为O(log2(log2N))。