机器学习的数学基础——线性代数篇（一）

前言

很多同学一看到机器学习的数学内容就头皮发麻，甚至因此产生了弃坑的想法，在这里我要告诉大家，每一个学过高数的人，都有足够的数学基础去研究机器学习，有些知识点可能忘了，但看到了就能很快想起来，想入门机器学习真的不难！

这个系列的目的，是帮大家把机器学习所需要的数学基础（线性代数部分）回忆 起来。为了合理控制篇幅，我打算分成 2~3 次来写。

一、线性代数知识结构

为了直观地展示机器学习所需的线性代数的知识结构，我画了一张思维导图：

相信其中的很多内容你都觉得眼熟，可以直接跳过觉得没有问题的部分。

二、线性代数中的基本概念

1 向量、矩阵、张量

P.S.这三个概念，不同的学科有不同的理解方式，在这里的概念是依据计算机科学的思维给出的。

向量 (vector)： 一列有序排列的数。

矩阵 (matrix)： 二维的数组。

张量 (tensor)： 多维的数组。

2 线性相关与子空间

把向量分别乘以标量系数并相加的操作称为 线性组合。

一组向量，如果任意一个向量都不能表示为其它向量的线性组合，就可以被称为是 线性无关 的，反之，则称为 线性相关。

如果把向量看成是多维空间中的一个点，一组向量通过线性组合所能构成的点的集合，称为这组向量的 生成子空间。

矩阵可以看作是向量的组合。通常我们会研究线性相关对

$$Ax=b$$

这个方程的解的影响，其中 $A$ 是一个矩阵，$x$ 和 $b$ 是向量。

3 范数 (norm)

在知乎上看了一些关于 “如何理解范数” 的回答，感觉并没有 get 到我想要的东西。还是花书讲的好，总结一下就是一句话：

范数是用来衡量向量或矩阵的大小的！

范数是用来衡量向量或矩阵的大小的！

范数是用来衡量向量或矩阵的大小的！

因为向量的大小可以有不同的定义方式，所以存在不同的范数。

或者说，范数是将向量映射到非负值的满足下列性质的任意函数：

• $f(x)=0|x=0$
• $f(x+y)\le f(x)+f(y)$
• $\forall \alpha \in R,f(\alpha x)=|\alpha |f(x)$

我们经常使用的范数有 $L^p$ 范数 、最大范数 、Frobenius 范数等。

$L^p$ 范数

向量 $x$ 的 $L^p$ 范数定义为

$$||x|{|}_p=(\sum _i|x_i{|}^p{)}^{\frac{1}{p}}$$

其中 $p\in R$ 且 $p\ge 1$ 。

当 $p=2$ 时，上式的形式跟我们定义 向量的模 的公式一毛一样，这个 $L^2$ 范数，也被称为是 欧几里得范数 。

$L^2$ 范数在机器学习中的应用非常广泛。很多时候，我们也会用直接用其平方来衡量向量的大小，因为计算会更加方便。

$L^1$ 范数常用于需要严格区分向量中零和非零但是很小的元素的情景，因为平方 $L^2$ 范数在零附近增长很慢。

最大范数

最大范数即向量中最大的元素的绝对值，记作 $||x|{|}_{\infty }$。

Frobenius 范数

Frobenius 范数通常用来衡量矩阵的大小，类似于向量的 $L^2$ 范数，其形式为

$$||A|{|}_F=\sqrt{\sum _{i,j}{A}_{i,j}^2}$$

P.S. 大家在实际中可能会遇见各种各样的范数，或者自己也可以根据需要去定义一个。

4 特殊矩阵

主要有对角、单位、对称、奇异、正交、正定这几种。

对角矩阵

只在主对角线上有非零元素的矩阵。

要注意并不是所有对角矩阵都是方阵，长方形的矩阵也可以是对角矩阵。

单位矩阵

主对角线上全是 1 的对角矩阵，且为方阵。

对称矩阵

元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。也就是转置等于自身的矩阵。

奇异矩阵

列向量线性相关的方阵。

需要注意的是，非方阵谈不上奇异非奇异，这里说列向量线性相关，其实等价于行向量线性相关。

同时，奇异矩阵不可逆，可逆矩阵一定是非奇异矩阵。

正交矩阵

如果 $x^{T}y=0$，则称向量 $x$ 和向量 $y$ 正交。如果这些向量不但相互正交，而且其 $L^2$ 范数都为 1，则称它们为 标准正交。

正交矩阵，是指行向量和列向量分别 标准正交的方阵。

分别标准正交，即所有行向量之间相互标准正交，所有列向量之间也相互正交。由于 n 维空间中至多有 n 个向量两两正交，所以正交矩阵必定是方阵。

对正交矩阵，有 $A^{T}A=A{A}^T=I$，于是 $A^{-1}=A^T$，即

正交矩阵的逆等于它的转置。

正定矩阵

如果方阵 $A$ 与一个向量 $v$ 相乘，结果是一个与 $v$ 共线的向量，相当于对 $v$ 进行了缩放，即

$$Av=\lambda v$$

则称 $v$ 为 $A$ 的 特征向量，标量 $\lambda$ 为 $v$ 这个特征向量对应的 特征值。

特征值 均为正数的方阵称为 正定矩阵。

特征值均为 非负数 的矩阵成为 半正定，均为 负数 的称为 负定，均为 非正数 的称为 半负定。

---

在下篇文章中，我们将一起复习线性代数的常见运算。感谢阅读！