各向异性滤波算法+数学模型分析

matlab练习程序（各向异性扩散）

主要是用来平滑图像的，克服了高斯模糊的缺陷，各向异性扩散在平滑图像时是保留图像边缘的（和双边滤波很像）。

通常我们有将图像看作矩阵的，看作图的，看作随机过程的，记得过去还有看作力场的。

这次新鲜，将图像看作热量场了。每个像素看作热流，根据当前像素和周围像素的关系，来确定是否要向周围扩散。比如某个邻域像素和当前像素差别较大，则代表这个邻域像素很可能是个边界，那么当前像素就不向这个方向扩散了，这个边界也就得到保留了。

先看下效果吧：

具体的推导公式都是热学上的，自己也不太熟悉，感兴趣的可以去看原论文，引用量超7000吶。

我这里只介绍一下最终结论用到的公式。

主要迭代方程如下：

其中lamda取值[0,1/4],其中1/4表示四个方向扩散平均量（可以说保证不溢出），可以用来调节平滑性！！！可能有些人对于上面的式子会不会存在像素值溢出的情况！这里说明下，可以说绝对不会，因为上面是扩散的原理，扩散告诉我们大的往小的跑达到中和平滑的目的，假如中心点的像素的值为255，那么周围像素要么相等要么小于，故这样的中心的像素的值只会往外面扩散，或者不动不扩散！

 I就是图像了，因为是个迭代公式，所以有迭代次数t。

四个散度公式是在四个方向上对当前像素求偏导，news就是东南西北嘛，公式如下：

 而cN/cS/cE/cW则代表四个方向上的导热系数，边界的导热系数都是小的。公式如下：

 

 最后整个公式需要先前设置的参数主要有三个，迭代次数t，根据情况设置；导热系数相关的k，取值越大越平滑，越不易保留边缘（失去对边沿信息保留，即边沿信息将扩散掉，结合函数模型去理解）；lambda同样也是取值越大越平滑。

那么问题来了，为什么用这样的数学模型？鄙人真心难解释，我深深的仰望前辈们，也希望可以在前辈们的丰功伟绩中吸收点养分！

经过抓挠了一段时间，将上面的关系建成数学表达式，试图通过几何画出该函数的模型：

其中f（x）=x*exp（-x^2）（该模型可以说是高斯函数一阶导函数：达到sobel+高斯的双重合并效果） ，上图红线表示高斯函数，蓝线表示高斯的一阶导函数。

通过该函数图分析，的确很清晰的表明了关系，当x大到一定程度的时候其函数值收敛为0，这也就是说明当像素之间的差值很大的时候，函数值也是为0，也就可以表明这是边沿，这个时候不需要向外扩散。但也表明在一定的范围内，差值在一定范围内，也就是平滑范围，差值在该范围内的都视为是平滑，也就是不变平担区域，需要扩散，可能是邻域向中间聚集，可能是中心向外扩散。扩散过程就是让中心与周围的像素的差异不要太大，分一点给他们，或者他们分一点给中心，因此该算法用于平滑图像，同时又极大程度的保留了边沿，这也是高斯算法和均值算法无法比你的优势！！！

除了上面的函数模型外还有另外一个函数：

这个函数模型也是可以的，f(x) = 1/(1+(x/k)^2)，对于上面的模型其中k=1

以上两个函数模型比较：

两者太相似了，兄弟函数！我们找这样函数的本质是当值很大（正无穷或者负无穷）的时候收敛于0！

最后是matlab代码：

clear all;
close all;
clc;

k=15;           %导热系数,控制平滑
lambda=0.15;    %控制平滑
N=20;           %迭代次数
img=double(imread('lena.jpg'));
imshow(img,[]);
[m n]=size(img);

imgn=zeros(m,n);
for i=1:N

    for p=2:m-1
        for q=2:n-1
            %当前像素的散度，对四个方向分别求偏导，局部不同方向上的变化量，
            %如果变化较多，就证明是边界，想方法保留边界
            NI=img(p-1,q)-img(p,q);
            SI=img(p+1,q)-img(p,q);
            EI=img(p,q-1)-img(p,q);
            WI=img(p,q+1)-img(p,q);
            
            %四个方向上的导热系数，该方向变化越大，求得的值越小，从而达到保留边界的目的
            cN=exp(-NI^2/(k*k));
            cS=exp(-SI^2/(k*k));
            cE=exp(-EI^2/(k*k));
            cW=exp(-WI^2/(k*k));
            
            imgn(p,q)=img(p,q)+lambda*(cN*NI+cS*SI+cE*EI+cW*WI);  %扩散后的新值      
        end
    end
    
    img=imgn;       %整个图像扩散完毕，用已扩散图像的重新扩散。
end

figure;
imshow(imgn,[]);

参考：

1、《特征提取与图像处理（第二版）》

2、http://www.cnblogs.com/tiandsp/archive/2013/04/18/3029468.html