【线性回归】面向新手的基础知识

线性回归建模

首先考虑一个情景，假设我们希望用线性回归预测房屋的售价。一般网上公开的房价预测数据集都至少包含房屋的面积、厅室数量等特征以及房屋的售价：

面积($x_1$)	厅室数量($x_2$)	价格(万元)(y)
64	3	225
59	3	185
65	3	208
116	4	508
……	……	……

对此数据，我们可以建立售价和特征属性之间的关系：
$$f(x)=w_0+w_1{x}_1+w_2{x}_2$$
更一般的，假如我们有数据集：
$$\begin{gathered} \{(x^{(1)},y^{(1)},((x^{(2)},y^{(2)}),...,((x^{(n)},y^{(n)})\} \\ {x}_i=(x_1;x_2;x_3;...;x_d),y_i\in R \end{gathered}$$
其中，n 表示样本的个数，d表示特征的个数。则y与样本x的特征之间的关系为：
$$\begin{array}{rl}f(x)& =w_0+w_1{x}_1+w_2{x}_2+...+w_d{x}_d\\ & =\sum _{i=0}^d{w}_i{x}_i\end{array}$$
其中，我们假设$x_0$=1，下文都作此假设。

线性回归损失函数、代价函数、目标函数

1. 损失函数：度量单个样本的错误程度。常用的损失函数有：0-1损失函数、平方损失函数、绝对损失函数、对数损失函数等。
2. 代价函数：度量所有样本的平均错误程度，也就是所有样本损失函数的均值。常用的代价函数包括均方误差(MSE)、均方根误差(RMSE)、平均绝对误差(MAE)等。
3. 目标函数：代价函数与正则化函数的结合，也是最终要优化的函数。

我们的目标是找到一组合适的w，使得 $f(x)\approx y$ 。对于回归问题，有许多性能度量方法，其中常用的一个是均方误差(MSE)，即：
$$J(w)=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n(f_w(x^{(j)})-y^{(j)}{)}^2$$
我们称$J(w)$为代价函数。注意到式子的系数不是1/n而是1/2，数是因为求导后的 $J^{\prime }(w)$ 系数为1，方便后续计算。为什么均方误差可以作为性能度量？可以从极大似然估计（概率角度）入手。

为了能够能精确的表达特征和目标值y的关系，引入了误差项ϵ，表示模型受到的未观测到的因素的影响。于是我们可以假设：
$$y^{(i)}=w^T{x}^{(i)}+{ϵ}^{(i)}$$
使用回归模型需要满足许多前提假设，其中一个是要求ϵ独立同分布，且服从$N(0,{\sigma }^2)$的高斯分布(正态分布)：
$$p({ϵ}^{(i)})=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp\left(-\frac{({ϵ}^{(i)}{)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$
所以在给定w和x的前提下，$y^{(i)}$ 服从$N(w^T{x}^{(i)},{\sigma }^2)$的正态分布。
$$p(y^{(i)}|x^{(i)};w)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp\left(-\frac{(y^{(i)}-w^T{x}^{(i)}{)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$
现在我们已经知道$y^{(i)} $的分布，但是我们不知道他的参数 $w^T{x}^{(i)},{\sigma }^2$ ，极大似然估计法来正是用来解决此类问题的，假设样本独立同分布，最大化似然函数，来进行参数估计。最大化似然函数的原理说简单点就是在一次观测中，发生了的事件其概率应该大。概率大的事在观测中容易发生，所以我们希望让每一个$p(y^{(i)}|x^{(i)};w)$都最大化，这等效于他们的乘积最大化。于是不难得到似然函数：
$$L(w)=\prod _{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp\left(-\frac{(y^{(i)}-w^T{x}^{(i)}{)}^2}{2{\sigma }^2}\right)$$
现在，目标转换为找到最佳的w，使得L(w)最大化，这就是极大似然估计的思想。我们通常对L(w)取对数，转换成加法的形式来方便计算：
$$\begin{array}{rl}L(w)& =logL(w)\\ & =log\prod _{i=1}^n\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp\left(-\frac{(y^{(i)}-w^T{x}^{(i)}{)}^2}{2{\sigma }^2}\right)\\ & =\sum _{i=1}^{n}log\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }exp\left(-\frac{(y^{(i)}-w^T{x}^{(i)}{)}^2}{2{\sigma }^2}\right)\\ & =nlog\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }-\frac{1}{{\sigma }^2}\cdot \frac{1}{2}\sum _{i=1}^n((y^{(i)}-w^T{x}^{(i)}{)}^2\end{array}$$
因此，要最大化$L(w)$只需要最小化：
$$\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n((y^{(i)}-w^T{x}^{(i)}{)}^2$$
这一结果即为均方误差的形式，因此使用$J(w)$作为代价函数是合理的。

线性回归模型的求解方法

1. 梯度下降法

随机初始化参数w，不端迭代，直到w达到收敛的状态，此时$J(w)$达到了最小值(有时候是局部最小值) ：
$$w_j=w_j-\alpha \frac{\partial J(w)}{\partial w}$$
上式中α为学习率，其中，
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial J(w)}{\partial w_j}& =\frac{\partial }{\partial w_j}\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n(f_w(x{)}^{(i)}-y^{(i)}{)}^2\\ & =2\ast \frac{1}{2}\sum _{i=1}^n(f_w(x{)}^{(i)}-y^{(i)})\ast \frac{\partial }{\partial w_j}(f_w(x{)}^{(i)}-y^{(i)})\\ & =\sum _{i=1}^n(f_w(x{)}^{(i)}-y^{(i)})\ast \frac{\partial }{\partial w_j}(\sum _{j=0}^d{w}_j{x}_j^{(i)}-y^{(i)}))\\ & =\sum _{i=1}^n(f_w(x{)}^{(i)}-y^{(i)})x_j^{(i)}\end{array}$$
于是有：
$$w_j=w_j+\alpha \sum _{i=1}^n(y^{(i)}-f_w(x{)}^{(i)})x_j^{(i)}$$
将上式向量化后得到：
$$w=w+\alpha \sum _{i=1}^n(y^{(i)}-f_w(x{)}^{(i)})x^{(i)}$$
可以看到上面的式子每次都迭代所有的样本，完成w的梯度下降，迭代过程如下图所示（越靠近内部，代价函数的值越小）：

有时候我们不能将所有数据一次性加载到内存中，那么可以每次只用部分样本(例如16，32，64等)进行梯度下降，此时的梯度下降法又叫做批梯度下降法。

极端情况下，我们每次只对一个样本进行梯度下降，此时的梯度下降法又叫做随机梯度下降法（SGD）。好处是相对于使用多个样本的梯度下降法，SGD每次迭代计算量都比较小，因此迭代速度很快。缺点是容易受到噪声点的干扰，导致梯度下降的方向不稳定，如下图所示：

因此要结合实际场景选择合适的梯度下降算法。

2. 最小二乘法

令：
$$x^{(i)}=\left[\begin{array}{c}{x}_0^{(i)}\\ x_1^{(i)}\\ x_2^{(i)}\\ \dots \\ x_d^{(i)}\end{array}\right]$$
$$X=\left[\begin{array}{c}(x^{(0)}{)}^T\\ (x^{(1)}{)}^T\\ (x^{(2)}{)}^T\\ \dots \\ (x^{(n)}{)}^T\end{array}\right]$$
$$Y=\left[\begin{array}{c}{y}^{(1)}\\ y^{(2)}\\ \dots \\ y^{(n)}\end{array}\right]$$
则有：
$$f_w(x)=Xw$$
且每个样本的误差组成的矩阵为：
$$Xw-Y$$
进而有：
$$J(w)=\frac{1}{2}(Xw-Y{)}^T(Xw-Y)$$
由于这是个存在最小值的凸函数，故对w求导可得：
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial J(w)}{\partial w}& =\frac{\partial }{\partial w}\frac{1}{2}(Xw-Y{)}^T(Xw-Y)\\ & =\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial w}(w^T{X}^{T}Xw-Y^{T}Xw-w^T{X}^{T}Y-Y^{T}Y)\\ & =\frac{1}{2}(\frac{\partial (Xw{)}^T}{\partial w}Xw+\frac{\partial (Xw{)}^T}{\partial w}Xw-X^{T}Y-X^{T}Y-0)\\ & =X^{T}Xw-X^{T}Y\end{array}$$

可能用到的向量和矩阵求导公式：
$$\begin{gathered} \frac{\partial {\mathbf{a}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}}{\partial \mathbf{x}}=\frac{\partial {\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{a}}{\partial \mathbf{x}}=\mathbf{a} \\ \frac{\partial {\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}}{\partial \mathbf{x}}=(\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}})\mathbf{x} \end{gathered}$$

令导数等于0，得到：
$$w=(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}Y$$

注意到上式存在矩阵的逆运算，一般样本数量大于维度的时候矩阵可逆，利用最小二乘法可以得到目标函数的闭式解。但是，当数据维度大于样本数时，X 非满秩，则$X^{T}X$的结果根据：
$$rank(AB)\le \min (rankA,rankB)$$
可知$X^{T}X$也不是满秩的，故不可逆，此时会有无穷多个解。

带有正则化项的回归模型

为了简化模型复杂程度，缓解过拟合，可以引入正则化项。根据使用的正则项，回归模型又可以细分为：lasso回归、岭回归（ridge回归）、ElasticNet回归。

Lasso回归使用$L_1$范数(向量中各个元素绝对值之和)来约束模型：
$$J(w)=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n((y^{(i)}-w^T{x}^{(i)}{)}^2+\lambda \Vert w{\Vert }_1\text{\hspace{1em}(1)}$$
岭回归使用$L_2$范数(向量各元素平方和的平方根)的平方来约束模型：
$$J(w)=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n((y^{(i)}-w^T{x}^{(i)}{)}^2+\lambda \Vert w{\Vert }_2^2\text{\hspace{1em}(2)}$$

$L_1$，$L_2$都有助于减缓过拟合，但是前者可以使得部分不重要的特征$x_j$对应的权重$w_j$变为0，可以起到特征选择的作用。

为了更好的理解，我们假设模型只有两个参数$x_1,x_2$， 对应的权重为$w_1,w_2$，将公式(1)，(2)等号右边的两项分别绘制图像可以得到：

公式(1)，(2)的最优解应该是均方误差项和正则化项的折中，即出现在均方误差项和正则化项的交点处。从上图可以看到，采用$L_1$范数时，交点出现在$w_2$等于0的坐标轴上，意味着对于此模型特征$x_2$并没有起到作用，可以舍去。而采用$L_2$范数的话，交点更容易落在某个象限中，即$w_1, w_2 $不等于0。总的来说，就是$L_1$范数比$L_2$范数更容易得到稀疏的解。

ElasticNet回归则是同时使用了$L_1$，$L_2$来约束模型：
$$J(w)=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n((y^{(i)}-w^T{x}^{(i)}{)}^2+{\lambda }_1{\Vert w\Vert }_1+{\lambda }_2{\Vert w\Vert }_2^2$$
ElasticNet回归在具有多个特征，并且在特征之间具有一定关联的数据中比较有用。

回归任务的评价指标

1. 平均绝对误差(MAE)

平均绝对误差也叫$L_1$范数损失，公式为：
$$MAE=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n|(y^{(i)}-{\hat{y}}^{(i)}|$$
其中n为样本的个数，${\hat{y}}^{(i)}$ 表示第i个样本的预测值。MAE能很好的刻画预测值和真实值的偏差，因为偏差有正有负，为了防止正负误差抵消，MAE计算的是误差绝对值的平均值。MAE 也可以作为损失函数，但是有些模型(如XGboost)必须要求损失函数有二阶导数，所以不能使用MAE进行优化。

加权平均绝对误差(WMAE)是MAE的变形，比如考虑时间因素，离当前时间越久的样本权重越低。公式为：
$$WMAE=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{w}^{(i)}|(y^{(i)}-{\hat{y}}^{(i)}|$$
其中，$w^{(i)}$为第i个样本的权重。

2. 均方误差(MSE)

MSE 计算的是误差平方和的均值，公式如下：
$$MSE=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(y^{(i)}-{\hat{y}}^{(i)}{)}^2$$
MSE 它对误差有着更大的惩罚，但是他也对离群点敏感，健壮性可能不如MAE。

3. 均方根误差(RMSE)

MSE公式有一个问题是会改变量纲。因为公式平方了，比如说 y 值的单位是万元，MSE 计算出来的是万元的平方，对于这个值难以解释它的含义。RMSE 其实就是对MSE开平方根，公式如下：
$$RMSE=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(y^{(i)}-{\hat{y}}^{(i)}{)}^2}$$
可以看到 MSE 和 RMSE 二者是呈正相关的，MSE 值大，RMSE 值也大，所以在评价线性回归模型效果的时候，使用 RMSE 就可以了。

4. 决定系数($R^2$)

当数据集不同时，或者说数据集预测目标的量纲不同时，上面三种评估方式的结果就不好比较了。$R^2$把预测目标的均值作为参照，例如房价数据集的房价均值，学生成绩的成绩均值。现在我们把这个均值当成一个基准参照模型，也叫 baseline model。这个均值模型对任何数据的预测值都是一样的，可以想象该模型效果自然很差。基于此我们才会想从数据集中寻找规律，建立更好的模型。

$R^2$公式如下：
$$R^2=1-\frac{{\sum }_{i=1}^n(y^{(i)}-{\hat{y}}^{(i)}{)}^2}{{\sum }_{i=1}^n(\bar{y}-{\hat{y}}^{(i)}{)}^2}=1-\frac{\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(y^{(i)}-{\hat{y}}^{(i)}{)}^2}{\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(\bar{y}-{\hat{y}}^{(i)}{)}^2}=1-\frac{MSE}{VAR}$$
$R^2$= 1，达到最大值。即分子为 0 ，意味着样本中预测值和真实值完全相等，没有任何误差。也就是说我们建立的模型完美拟合了所有真实数据，是效果最好的模型，$R^2$值也达到了最大。但通常模型不会这么完美，总会有误差存在，当误差很小的时候，分子小于分母，模型会趋近 1，仍然是好的模型，随着误差越来越大，$R^2 $也会离最大值 1 越来越远，直到出现下面的情况。

$R^2$= 0，此时分子等于分母，样本的每项预测值都等于均值。也就是说我们辛苦训练出来的模型和前面说的均值模型完全一样，还不如不训练，直接让模型的预测值全去均值。当误差越来越大的时候就出现了第三种情况。

$R^2$< 0 ，分子大于分母，训练模型产生的误差比使用均值产生的还要大，也就是训练模型反而不如直接去均值效果好。出现这种情况，通常是模型本身不是线性关系的，而我们误使用了线性模型，导致误差很大。

参考资料：

【机器学习12】线性回归算法评价指标：MSE、RMSE、R2_score
周志华 《机器学习》
李航 《统计学习方法 第二版》