Best Time to Buy and Sell Stock IV-买卖股票问题
leetcode原题地址：https://leetcode.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv/
REFERENCE:
https://leetcode.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/discuss/135704/Detail-explanation-of-DP-solution
这篇explanation是我见过这个题目最清晰的解释，没有之一！
题目思路是用dp，状态转移方程：
dp[k, i] = max(dp[k, i-1], prices[i] - prices[j] + dp[k-1, j-1]), j=[0..i-1]dp[k,i]表示第i天，最多进行k次交易能获得的最大利润，它可能是以下几种情况得到：
1. 可以在第i天什么也不做，即为dp[k,i-1]
2. 在前面的某一天 j 之前进行了最多k-1交易，最后一次交易为从第j到第i天，因此利润为：price[i]-price[j]+dp[k-1,j-1]
有了状态转移方程很容易写出。这里有个trick，要求所有j中 max(price[i]-price[j]+dp[k-1,j-1])，即求min(price[j]-dp[k-1,j-1])
版本1代码可写为：
int maxProfit(int K, vector& prices) {
//dp[k,i]=max(dp[k,i-1],dp[k-1,j-1]+price[i]-price[j]);
int n=prices.size();
if(n==0) return 0;
vector> dp(K+1,vector(n));
for(int i=1;i 时间复杂度为O(kn²)，空间复杂度为O(kn)
复杂度过高，导致超时：209 / 211 test cases passed.
版本2：
注意到 j 从1到 i 时，每一个循环都要计算一次 “prices[j] - dp[k-1][j-1]” j = [1,2,3……,i]
而这个值实际上已经被计算过，在i之前的循环中，“prices[j] - dp[k-1][j-1]” j = [1,2,3……,i] 都被计算过，因此可以在i循环时更新minP，代码如下：
int maxProfit(int K, vector& prices) {
//dp[k,i]=max(dp[k,i-1],dp[k-1,j-1]+price[i]-price[j]);
int n=prices.size();
if(n==0) return 0;
vector> dp(K+1,vector(n));
vector minP(K+1,prices[0]);
for(int i=1;i 时间复杂度为O(kn)，空间复杂度为O(kn)
复杂度仍然过高，还是超时：209 / 211 test cases passed.
版本3
注意到版本2中，dp[k，i]仅仅与dp[k，i-1]和dp[k-1，i-1]有关，也就是说，只与上一个i有关。因此可以只看成一个变量。
dp[k，i]-->dp[k]，dp[k，i-1]-->dp[k]，dp[k-1，i-1]-->dp[k-1]。
代码如下：
int maxProfit(int K, vector& prices) {
//dp[k,i]=max(dp[k,i-1],dp[k-1,j-1]+price[i]-price[j]);
int n=prices.size();
if(n==0) return 0;
vector dp(K+1);
vector minP(K+1,prices[0]);
for(int i=1;i 时间复杂度为O(kn)，空间复杂度为O(k)
虽然已经优化了这么多，提交后发现：内存超限(?……): 209 / 211 test cases passed.
版本4
接下来考虑k, 当k>=n/2时，退化为交易任意次了。因为买卖最多交易n/2。
交易任意次就不需要用dp，后一天价格高于前一天；则累加，否则不累加。这样将每个增加的全部加起来了，即为结果。
代码如下：
int maxProfit(int K, vector& prices) {
//dp[k,i]=max(dp[k,i-1],dp[k-1,j-1]+price[i]-price[j]);
int n=prices.size();
if(n==0) return 0;
int ans=0;
if(K>=n/2){
for(int i=1;iprices[i-1])
ans += prices[i]-prices[i-1];
return ans;
}
vector dp(K+1);
vector minP(K+1,prices[0]);
for(int i=1;i 时间复杂度为O(kn)，空间复杂度为O(k)
这次终于过了那个长样例!
总结：
1. 版本1就应该检测k和n/2的关系，说不定就过了！
2. 股票买入卖出四部曲结束，写出简单的转移方程，并一步步优化可以得到一个很精简的(但是直接看不懂的)版本