布尔函数代数标准型的求法

布尔函数的代数标准型

• 布尔函数的小项表示

布尔函数的小项表示可以由真值表直接得出，最小项表示如下：

其中ai为0表示xi取反，每个最小项的系数为对应真值表的值，可知x的每个状态只能使得唯一一个最小项为1，其余都为0，注意上式中只有与、或、非三种逻辑运算，由于各个最小项不能同时为1，所以上述或运算可以和异或等同（二进制加等同异或运算）。

上式其实就为平时我们从真值表直接得到的与或式，因此还可以通过逻辑表达式化简方法或卡诺图来得到最简与或式。其中化简常用的关系式有A+A'B=A+B（用分配律证明），

A+AB=A（A(1+B)=A）,AB+A'C=AB+A'C+BC。

利用卡诺图化简的关键在于要按照字典顺序排列状态，而非二进制递增序列。画圈个数要少，圈要大，同时最简与或式不唯一。

值得注意的是，最简与或式的+，也即或，不能看做异或（除非小项表示和最简与或式相同），因为各项不是小项，可能同时为1.

• 布尔函数的多项式表示

假设知道布尔函数的小项表示，则由于+（或）等同于异或，非等同于与1异或，因此可以直接将小项中的xi'，转化为1+xi，这里的加为二进制加，也即异或运算，布尔函数多项式表达式为：

上述表达式中所有的加都可以看做二进制加。

• 布尔函数的代数标准型(ANF)

把多项式中的单项式表示成如下形式：

其中

可以得到里德穆勒表示式：

上述表示方法实际上是对布尔函数多项式表达式系数的重新排列，按照二进制递增的顺序，其中表示系数的布尔函数的真值叫做里德穆勒谱，上述里德穆勒表示法其实也就是代数标准型的一种写法。由此可以看到，想要得到布尔函数代数标准型，关键就是找到表示里德穆勒谱的布尔函数。找到该函数真值的方法基于莫比乌斯反演，具体算法如下例：

算法首先将布尔函数的真值表存入数组，分别取其上半部分和下半部分，将两部分的异或重新赋值给下半部分，然后对上下两部分递归上述算法，直到每一部分只剩一位为止。最终得到的2^n长数组即为里德穆勒谱，表征了ANF的系数，由于输入状态都是按照二进制递增顺序排列，因此可以很容易的到ANF的代数次数。上述算法还有迭代版本：

上述公式引用于https://wenku.baidu.com/view/685c8d2e453610661ed9f47a.html

图表引用于Yang Mo-han, 杨默涵, Lai Xue-jia,等. 布尔函数代数次数的计算方法[C]// 中国密码学会2009年会. 2009.

Sihem Mesnager"Bent Funtions".