数据结构与算法(5)-树

目录
一.树的定义
    1.定义：
    2.结点的分类
    3.结点间的关系
    4.树的其他相关概念：
二.树的抽象数据类型
三.树的存储结构
    1.双亲表示法
    2.孩子表示法
    3.孩子兄弟表示法
四.二叉树的定义
    1.二叉树的特点：
    2.二叉树具有5种基本形态：
    3.特殊二叉树
五.二叉树的性质
    1.性质一
    2.性质二
    3.性质三
    4.性质四
    5.性质五
六.二叉树的存储结构
    1.二叉树顺序存储结构
    2.二叉链表
七.遍历二叉树
    1.二叉树遍历原理
    2.二叉树遍历方法：
    3.推导遍历结果：
八.二叉树的建立
九.线索二叉树
    1.线索二叉树原理
    2.线索二叉树结构实现
    3.中序遍历线索二叉树
十.树，二叉树，森林之间的转换
    1.树转换为二叉树步骤：
    2.森林转换为二叉树步骤
    3.二叉树转化为树步骤：
    4.二叉树转化为森林步骤：
    5.树与森林的遍历

一.树的定义

1.定义：

(1)树(Tree)是n(n≥0)个结点的有限集。n=0时称为空树

(2)在任意一棵非空树中：

• 有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；
• 当n＞1时，其余结点可分为m（m＞0）个互不相交的有限集T1、T2、……、Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树

(3)注意：

• n>0时，根结点是唯一的
• m>0时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的

2.结点的分类

(1)树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。
(2)结点拥有的子树数称为结点的度（De-gree）
(3)度为0的结点称为叶结点（Leaf）或终端结点；
(4)度不为0的结点称为非终端结点或分支结点。
(5)除根结点之外，分支结点也称为内部结点。
(6)树的度是树内各结点的度的最大值

3.结点间的关系

(1)结点的子树的根称为该结点的孩子（Child），相应地，该结点称为孩子的双亲（Parent）
(2)同一个双亲的孩子之间互称兄弟（Sibling）
(3)结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点
(4)以某结点为根的子树中的任一结点都称为该结点的子孙

4.树的其他相关概念：

(1)结点的层次(Level):

从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层。若某结点在第l层，则其子树就在第l+1层。其双亲在同一层的结点互为堂兄弟。显然图6-2-6中的D、E、F是堂兄弟，而G、H、I与J也是堂兄弟。树中结点的最大层次称为树的深度(Depth)或高度

(2)将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树

(3)森林（Forest）是m（m≥0）棵互不相交的树的集合

(4)线性表与树的区别

二.树的抽象数据类型

三.树的存储结构

双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法可以实现对树的存储结构的表示

1.双亲表示法

2.孩子表示法

3.孩子兄弟表示法

四.二叉树的定义

1.二叉树的特点：

(1)每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。注意不是只有两棵子树，而是最多有。没有子树或者有一棵子树都是可以的

(2)左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。

(3)即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。如图所示，树1和树2是同一棵树，但它们却是不同的二叉树。

2.二叉树具有5种基本形态：

(1).空二叉树
(2).只有一个根结点
(3).根结点只有左子树
(4).根结点只有右子树
(5).根结点既有左子树又有右子树”

3.特殊二叉树

(1)斜树：

所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树

(2)满二叉树：

在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树

(a)满二叉树的特点有：

• 叶子只能出现在最下一层。出现在其他层就不可能达成平衡。
• 非叶子结点的度一定是2。
• 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。

(3)完全二叉树：

对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树

• 首先，满二叉树一定是一棵完全二叉树，但完全二叉树不一定是满的
• 其次，完全二叉树的所有结点与同样深度的满二叉树，它们按层序编号相同的结点，是一一对应的

(a)完全二叉树的特点：

• 叶子结点只能出现在最下两层。
• 最下层的叶子一定集中在左部连续位置。
• 倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置。
• 如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况。
• 同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小”

五.二叉树的性质

1.性质一

性质1:在二叉树的第i层上至多有2^i-1个结点（i≥1）”

2.性质二

性质2：深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点（k≥1）

3.性质三

性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n₀，度为2的结点数为n₂，则n₀=n₂+1。

4.性质四

性质4：具有n个结点的完全二叉树的深度为|log₂n+1|（|x|表示不大于x的最大整数）

5.性质五

性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树（其深度为i）的结点按层序编号（从第1层到第层，每层从左到右），对任一结点i（1≤i≤n）有：

• 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1，则其双亲是结点。
• 如果2i>n，则结点i无左孩子（结点i为叶子结点）；否则其左孩子是结点2i。
• 如果2i+1>n，则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1。”

六.二叉树的存储结构

1.二叉树顺序存储结构

2.二叉链表

七.遍历二叉树

1.二叉树遍历原理

二叉树的遍历（traversing binary tree）是指从根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次

2.二叉树遍历方法：

(1)前序遍历

规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先访问根结点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。如图所示，遍历的顺序为：ABDGH-CEIF

前序遍历算法：

/* 二叉树的前序遍历递归算法 */
void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
    if (T == NULL)
        return;
    /* 显示结点数据，可以更改为其他对结点操作 */
    printf("%c", T->data);          
    /* 再先序遍历左子树 */
    PreOrderTraverse(T->lchild);    
    /* 最后先序遍历右子树 */
    PreOrderTraverse(T->rchild);    
}

(2)中序遍历

规则是若树为空，则空操作返回，否则从根结点开始（注意并不是先访问根结点），中序遍历根结点的左子树，然后是访问根结点，最后中序遍历右子树。如图所示，遍历的顺序为：GDHBAE-ICF

中序遍历算法：

/* 二叉树的中序遍历递归算法 */
void InOrderTraverse(BiTree T)
{
    if (T == NULL)
        return;
    /* 中序遍历左子树 */
    InOrderTraverse(T->lchild);    
    /* 显示结点数据，可以更改为其他对结点操作 */
    printf("%c", T->data);         
    /* 最后中序遍历右子树 */
    InOrderTraverse(T->rchild);    
}

(3)后序遍历

规则是若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根结点。如图所示，遍历的顺序为：GHDBIEFCA

后序遍历算法：

/* 二叉树的后序遍历递归算法 */
void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
    if (T == NULL)
        return;
    /* 先后序遍历左子树 */
    PostOrderTraverse(T->lchild);    
    /* 再后序遍历右子树 */
    PostOrderTraverse(T->rchild);    
    /* 显示结点数据，可以更改为其他对结点操作 */
    printf("%c", T->data);           
} 

(4)层序遍历：

规则是若树为空，则空操作返回，否则从树的第一层，也就是根结点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问。如图所示，遍历的顺序为：ABCDEFGHI

3.推导遍历结果：

(1)二叉树遍历的两个性质：

• 已知前序遍历序列和中序遍历序列，可以唯一确定一棵二叉树。
• 已知后序遍历序列和中序遍历序列，可以唯一确定一棵二叉树。

(2)已知前序和后序遍历，是不能确定一棵二叉树的

八.二叉树的建立

1.代码

/* 按前序输入二叉树中结点的值（一个字符） */
/* #表示空树，构造二叉链表表示二叉树T。 */
void CreateBiTree(BiTree *T)
{
    TElemType ch;
    scanf("%c", &ch);
    if (ch == '#')
      *T = NULL;
    else
    {
        *T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        if (!*T)
            exit(OVERFLOW);
        /* 生成根结点 */
        (*T)->data = ch;                
        /* 构造左子树 */
        CreateBiTree(&(*T)->lchild);    
        /* 构造右子树 */
        CreateBiTree(&(*T)->rchild);    
    }
}

九.线索二叉树

1.线索二叉树原理

2.线索二叉树结构实现

/* 二叉树的二叉线索存储结构定义 */
/* Link==0表示指向左右孩子指针 */
/* Thread==1表示指向前驱或后继的线索 */
typedef enum {Link, Thread} PointerTag;    
/* 二叉线索存储结点结构 */
typedef struct BiThrNode                   
{
    /* 结点数据 */
    TElemType data;                        
    /* 左右孩子指针 */
    struct BiThrNode *lchild, *rchild;     
    PointerTag LTag;
    /* 左右标志 */
    PointerTag RTag;                       
} BiThrNode, *BiThrTree;” 

3.中序遍历线索二叉树

BiThrTree pre;                     /* 全局变量，始终指向刚刚访问过的结点 */
/* 中序遍历进行中序线索化 */
void InThreading(BiThrTree p)
{
    if (p)
    {
        /* 递归左子树线索化 */
        InThreading(p->lchild);    
        /* 没有左孩子 */
        if (!p->lchild)            
        {
            /* 前驱线索 */
            p->LTag = Thread;      
            /* 左孩子指针指向前驱 */
            p->lchild = pre;       
        }
        /* 前驱没有右孩子 */
        if (!pre->rchild)          
        {
            /* 后继线索 */
            pre->RTag = Thread;    
            /* 前驱右孩子指针指向后继（当前结点p） */
            pre->rchild = p;       
        }
        /* 保持pre指向p的前驱 */
        pre = p;                   
        /* 递归右子树线索化 */
        InThreading(p->rchild);    
    }
}

十.树，二叉树，森林之间的转换

1.树转换为二叉树步骤：

(1)加线。在所有兄弟结点之间加一条连线。
(2)去线。对树中每个结点，只保留它与第一个孩子结点的连线，删除它与其他孩子结点之间的连线。
(3)层次调整。以树的根结点为轴心，将整棵树顺时针旋转一定的角度，使之结构层次分明。注意第一个孩子是二叉树结点的左孩子，兄弟转换过来的孩子是结点的右孩子

2.森林转换为二叉树步骤：

(1).把每个树转换为二叉树

(2).第一棵二叉树不动，从第二棵二叉树开始，依次把后一棵二叉树的根结点作为前一棵二叉树的根结点的右孩子，用线连接起来。当所有的二叉树连接起来后就得到了由森林转换来的二叉树

3.二叉树转化为树步骤：

(1).加线。若某结点的左孩子结点存在，则将这个左孩子的右孩子结点、右孩子的右孩子结点、右孩子的右孩子的右孩子结点……，反正就是左孩子的n个右孩子结点都作为此结点的孩子。将该结点与这些右孩子结点用线连接起来。

(2).去线。删除原二叉树中所有结点与其右孩子结点的连线。

(3).层次调整。使之结构层次分明

4.二叉树转化为森林步骤：

(1).从根结点开始，若右孩子存在，则把与右孩子结点的连线删除，再查看分离后的二叉树，若右孩子存在，则连线删除……，直到所有右孩子连线都删除为止，得到分离的二叉树。

(2).再将每棵分离后的二叉树转换为树即可

5.树与森林的遍历

(1)树的遍历分为两种方式

• 一种是先根遍历树，即先访问树的根结点，然后依次先根遍历根的每棵子树
• 另一种是后根遍历，即先依次后根遍历每棵子树，然后再访问根结点

(2)森林的遍历也分为两种方式：

• 前序遍历：先访问森林中第一棵树的根结点，然后再依次先根遍历根的每棵子树，再依次用同样方式遍历除去第一棵树的剩余树构成的森林
• 后序遍历：是先访问森林中第一棵树，后根遍历的方式遍历每棵子树，然后再访问根结点，再依次同样方式遍历除去第一棵树的剩余树构成的森林