详细的世界坐标转屏幕坐标及投影矩阵的推导
投影矩阵网上推导一大堆，怎么构建矩阵，怎么运用透视除法等都有说，但说清楚为什么这样做的貌似不多。我现在尝试用矩阵乘法的本质去说明投影矩阵是怎么推导的。
以下向量统一用列向量表示法。
1.坐标转换
坐标的表达形式（Fundamentals of Computer Graphics, 4th page 135）
看上图，p在世界坐标系下的坐标值有两种表示法：
其中：
u，v是e坐标系下的标准正交基。
从图中可以看到，p在o坐标系下的坐标是(2.5,0.9)，在e坐标系下是(0.5,-0.7)。
但按上面两个公式，算出来的值都是(2.5,0.9)。
我们把e下的方程化为矩阵：
从矩阵可以看出(x,y)->(u,v)的转换关系。如下式：
那么，e坐标系下的坐标可由下式求的：
由于[u v]是正交矩阵，所以有：
说了这么多，目的是为了引出下面的推导，世界坐标转到摄像机空间坐标。
上式可写为：
2.摄像机矩阵推导
先明确一点：这里说的摄像机矩阵是指世界空间到摄像机的矩阵。
摄像机空间的三个基分别是向量right,up,look，世界空间中的位置是P。以R表示摄像机right向量，U表示up向量，V表示look向量，我们的目的是把R，U，V三个向量分别转换到x，y，z向量。
由于这个向量比较难转换，我们换种思路，把x，y，z轴转到RUV的矩阵是：
由于该矩阵是正交矩阵，那么有
回想一下，在空间中绕一点P旋转，是不是，可以看成先把P移到原点，然后旋转，再移动回P点上。
而摄像机空间，是把摄像机的坐标移动到原点，再把各个轴旋转到xyz轴上。
假设摄像机世界坐标是P，矩阵如下：
把两个矩阵相乘得到最后的lookup矩阵C：
这里解释了为何LookUp矩阵的平移项是-P·R而不是-P，因为是矩阵相乘的结果。
摄像机空间转换矩阵推导完毕后，下一步是从摄像机空间转到投影空间。
3.正交投影矩阵的推导
我一直在想一个问题，能否用线性代数的投影矩阵来推导出正交投投影矩阵？
根据线性代数的投影矩阵推导公式，假设向量v在平面A[a1 a2]上的投影向量是p，则p可表示为下式：
其中a1，a2是平面的线性组合向量。这里有个限制：A必须是列空间，即A所在的空间一定包含零点。
假设向量v投影到A空间后得到p，我们要求的矩阵是：Pv = p中的P
再有向量r = v - p，则向量r垂直平面A，即向量r与a1和a2都垂直。得到如下式子：
以上两式组合得：
把r = v - p，p=Ax代入上式得
![\\ \begin{bmatrix} a_{1}^{T} \\ a_{2}^{T} \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} v - Ax \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} \\A^{T} \times [v-Ax] = [0]](http://img.e-com-net.com/image/info8/e62356788ca842a292711d9e91f652e3.gif)
简写成
Ax=p，两边乘以A得
即得投影矩阵
更详细的性质与推导可以看线性代数投影矩阵的相关参考。
下面详细说出相机正交投影推导：
A是XOY平面，v是空间中一点。
然后要把投影坐标映射到NDC空间。NDC是一个归一化的盒子，z范围0-1，x,y都是-1到1，我手动画图来说明。
屏幕x轴的映射关系是
其中w是屏幕映射区域的宽
同理屏幕y轴的映射关系是
其中h是屏幕映射区域的高
现在我们把w换成r-l，把h换成t-b，r是投影区域的右X坐标，l是左X坐标，t和b同理。
z轴的映射关系如下：
求得映射方程如下：
最后得到投影矩阵O：
我们看到，P怎么变换也不能变换到O，这是为什么呢？
个人理解：P的行列式是0，没有逆矩阵，意味着你无法知道原来的Z的位置。因为线性代数中的投影矩阵是降维操作，而图形学中的投影是一个线性方程变换。
===============================
看了闫令琪的图形学中的推导，是我看过最好最直观的。
简单来说，正交投影就是把长方体的盒子，转换到中心为0的标准正方体[-1, 1]³。
这里是把z的n和f变换到-1到1中，和上面的[0,1]不一样
上图来源于闫令琪的教程，注意，我这里是左手坐标系，把图修正了。
长方体的平移距离是
，矩阵表示为：
Scale就更简单了，l到r缩放到-1到1，缩放因子就是2 / (r - l)，其他同理。
正交投影矩阵是：
4.透视投影的推导
参考闫令琪的教程，透视投影就是先把Frustum变换到一个box，然后再进行正交投影的过程。
先看这个连接，https://sites.cs.ucsb.edu/~lingqi/teaching/resources/GAMES101_Lecture_04.pdf
后面我再在这里写过程，并把闫令琪留给我们的问题写出来。
首先，齐次坐标的表示：
(x, y, z, 1)，(wx, wy, wz, w != 0)，(xz, yz, z², z != 0)均表示同一个点。
下一步，如何把frustum变换到正交投影的box？
侧视图：
y和y'的转换可写成：
，
那么我们要找到一个矩阵，可以把(x, y, z, 1)变换到坐标(x', y', ?, 1) = (yn/z, xn/z, ? 1) = (yn, xn, ? z)
一矩阵乘法的形式表示：
根据矩阵乘法，
，row1 = (n, 0, 0, 0)，row2和row4也是如此
关键第三行如何求？
但z = n时，经过该矩阵
的转换后仍然是n
点乘法则：
当z = f时，仍然按上面的法则推导
解方程组求A，B得：
A = n + f
B = -nf
最后投影矩阵：
另一种方式的投影矩阵
假设摄像机坐标本来就已经在原点，l + r = 0，t + b=0。
并且r - l = width，t - b = height
投影矩阵可以写成：
摄像机垂直方向的视角是fov，如下图：
再看下面的式子：
投影矩阵可以最后写成：
如果正交投影中，变换到一个在z是0-1的box，只需要修改Ot和Os矩阵：
这种情况下的投影矩阵可写成：
5.NDC坐标到屏幕坐标的转换
NDC中x是-1到1，y也是-1到1，而窗口大小分别是width和height。
下面是NDC的坐标与屏幕坐标的映射关系：
对应方程分别是：
屏幕空间的z是0-1之间，我假设这里的NDC的z也是0-1，（opengl是-1,1），z对应的变换如下：
因此得到NDC到屏幕坐标的矩阵S。
做后屏幕坐标就是：
所以，世界坐标到屏幕坐标的最后映射关系是：
