学习小波（2）-正交小波的性质

一般小波是由f（t）经过和小波做内积运算得到频率上的函数f(a,b)(a是尺度因子可以表示频率，b是平移因子表示时间)，这就是小波变换的过程。

也就是说，进行了升维，为了简化计算，因子在L^2®上构造特殊的小波-正交小波

正交小波构造了一个限制尺度因子和平移因子的小波，这样就可以从取连续的点取2^j的点，使用了香农采样定理。
具体正交小波的满足条件是：
φj,k(t)=2^(j⁄2) φ(2^j t-k);(j,k)∈z^2构成L2®的标准正交基，则称φ(t)是正交小波。
1.首先需要证明φ((2^j)t-k) (j,k)∈z^2,可以表示L平面上的所有函数，
2.证明φj,k(t)正交与其他的φj+n,k+n(t) (j,k,n)∈z^3
3.φj,k(t)=2^(j⁄2) φ(2^j t-k);(j,k)∈z^2

正交小波例子：哈尔小波h(t)
h(t)=1 0≤t<0.5
-1 0.5≤t<1
0 其他
现在使用上面说的正交小波的满足条件来证明哈尔小波是正交小波
1.当把h(t)进行伸缩和平移显然可以表示所有的函数
2 h(j,k)(t)=2^(j⁄2) h(2^j t-k)
3 =z(j-j1)z(k-k1) z(x)是在0处有值，在其他处为0的函数，证明了第三条可理解为当j不等于j1时结果为0，当j=j1时，结果为 1，正好就是正交标准基。