022 Python初学笔记--递归的概念和使用：阶乘、斐波那契数列、汉诺塔、十进制转二进制

一、递归算法的常识：

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• 递归需要满足的两个基本条件：

①函数调用自身

②函数设置了正确的返回值

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• 按照递归的特性，在编程中不得不使用递归的情况：

例如汉诺塔，目录索引(检查目录里面是否还有目录)，快速排序，树结构的定义等如果使用递归，会是算法的效率事半功倍，否则将会导致程序无法实现或难以理解

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• 用递归去计算阶乘问题或斐波那契数列是很糟糕的算法，为什么？

①递归的实现是函数对自身的调用，每次函数的调用都需要进栈、出栈、保存和恢复寄存器的栈操作，在这上面是非常消耗时间和空间的。

②另外，如果递归一旦忘记了返回，或者错误设置了返回条件，那么执行这样的递归代码就会变成一个无底洞，只进不出。在使用递归时一定要十分的注意。

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二、递归的使用：

• 阶乘：

>>> #递归法求阶乘
>>> def factorial(x):
	if x==1:
		return 1
	else:
		return x*factorial(x-1)

	
>>> factorial(5)
120

>>> #迭代法求阶乘	
>>> def fac(y):
	sum=y
	for i in range(1,y):
		sum*=i
	return sum

>>> fac(5)
120

• 斐波那契数列:

①n=1或n=2时，f(n)=1

②n>2时，f(n)=f(n-1)+f(n-2)

>>> #递归求斐波那契数列
>>> def fibo(n):
	if n==1 or n==2:
		return 1
	else:
		return fibo(n-1)+fibo(n-2)

	
>>> fibo(20)
6765

>>> #迭代求斐波那契数列
>>> def fab(m):
	list1=[]
	list1.append(m)     
	for i in range(1,m+1):
		if i==1 or i==2:
			list1.append(1)
		else:
			list1.append(list1[i-1]+list1[i-2])
	return list1[m]

>>> fab(20)
6765

• 汉诺塔问题：

有X，Y，Z三根柱子。X柱子由上到下放置着n个由小到大的盘子，需要将这n个盘子借助柱子Y全部移动到柱子Z上。在移动的过程中，每根柱子的下方的盘子的不能比上方的盘子小。

>>> #递归求汉诺塔问题
>>> def hanof(n,x,y,z):   #n:盘子个数；x:盘子的初始位置；z:盘子的最终位置；y:盘子借助y从x移动到z
	if n==1:
		print(x,'-->',z)
		return
	else:
		hanof(n-1,x,z,y)   #将x上的n-1个盘子借助z移动到y上
		print(x,'-->',z)   #将x上的盘子移动到z
		hanof(n-1,y,x,z)   #将y上的n-1个盘子借助x移动到z

#结果
>>> hanof(1,'X','Y','Z')
X --> Z
>>> hanof(3,'X','Y','Z')
X --> Z
X --> Y
Z --> Y
X --> Z
Y --> X
Y --> Z
X --> Z

注：

1. 若x上只有一个盘子，直接将x上的盘子移动到z上。
2. 若x上有多个盘子，将x上的前n-1个盘子借助z移动到y上，再将x上剩下的一个盘子移动到z上。
3. 最后将y上的盘子移动到z上。在此移动过程中，y柱子为初始柱子，z柱子还是最终的柱子，x柱子相当于中间的柱子，然后再进行上述步骤的移动，直到所有的盘子都移动完为止。

• 十进制转二进制（要求以字符串的形式返回）

  >>> #递归求进制转换
  >>> def Dec2Bin(dec):
  	result=''
  	if dec:
  		result+=Dec2Bin(dec//2)
  		return result+str(dec%2)
  	else:
  		return result
  
  	
  >>> Dec2Bin(10)
  '1010'
  
  >>> #利用python内置函数求进制转换
  >>> bin(10)    
  '0b1010'