《算法概论》8.9

题目：

8.9 In the HITTING SET problem, we are given a family of sets {S1,S2,...,Sn} , and a budget b , and we wish to find a set H of size ≤b which intersects every Si , if such an H exists, In other words, we want H⋂Si≠∅ for all i .
Show that HITTING SET is NP-complete.

解答：

击中集（Hitting Set）问题是指给定一组集合 {S1,S2,...,Sn} 和一个预算 b ，希望找到一个集合 H 满足 H 与所有的 Si 相交（存在公共元素）且 H 的大小不超过预算 b ，如果存在这样的集合 H ，用数学公式表示就是 H⋂Si≠∅ 。
顶点覆盖（Vertex Cover）问题是指给定图G(V, E)和预算k，希望从V中找到一个大小不超过k的顶点集合A，能够覆盖所有的边（每一条边至少有一个顶点属于A）。
顶点覆盖问题是NP完全的，现在将顶点覆盖问题规约到击中集问题。
对于G的每一条边 e=(u,v) ，令 Si={u,v} ，则得到一组集合 {S1,S2,...,S|E|} ，每一个集合 Si 对应G的一条边，集合的元素为对应边的两个顶点。让预算 b=k ，因为顶点覆盖问题中要求所有的边都被覆盖到，即每一条边至少有一个顶点属于覆盖集A中，这意味着覆盖集A与所有的 Si 都相交，而击中集问题中 H⋂Si≠∅ ，即A与H是等价的；覆盖集A最多k个点对应击中集H最多有b个元素，因此实现了顶点覆盖问题到击中集问题的归约，所以击中集问题是NP完全问题，证毕。