矩阵论 - Part III

矩阵论 - Part III

概念索引

5 特征方程, 特征多项式, 特征空间,

5 特征问题

特征值和特征向量

设$A$是$n$阶方阵, $\lambda$和非零向量$x$满足$$Ax=\lambda x$$ 则称$\lambda$为$A$的特征值, 对应向量$x$称特征值$\lambda$的特征向量, 丄式称特征值问题.

特征方程和特征多项式

特征值问题还可以写成$$(A-\lambda E)=0$$该式是一个$n$元齐次线性方程组, 存在非$0$解的条件是$$|A-\lambda E|=0$$称之为方阵$A$的特征方程, $$f(\lambda )=|A-\lambda E|$$为$\lambda$的$n$次多项式, 称$A$的特征多项式

特征值性质

• 性质1: $$\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}$$ $$\prod _{i=1}^n{\lambda }_i=|A|$$
• 性质2: 如果$A$可逆, $\lambda ,x$为其特征值和对应的特征向量, 则$1/\lambda ,x$是$A^{-1}$的特征值和特征向量
• 性质3: $\lambda ,x$为$A$的特征值和对应的特征向量, 则${\lambda }^m,x$为$A^m$的特征值和对应的特征向量
• 性质4: 各不不同特征值对应的特征向量线性无关
• 性质推论: $\varphi (\lambda )$是$\varphi (A)$的特征值, $$\varphi (\lambda )=a_0+a_1\lambda +\cdots +a_n{\lambda }^n$$$$\varphi (A)=a_0\ast E+a_{1}A+\cdots +a_n{A}^n$$其中$a_0,a_1,\dots ,a_n$为常数

特征空间

特征值$\lambda$的特征所有特征向量和$0$向量的并集称为$\lambda$的特征空间

特征值问题和$Ax=b$

设${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$和$x_1,\dots ,x_n$分别是$A$的特征值和特征向量, 设$Ax=b$的解为$x^{\ast }$, $x^{\ast }$可以作如下分解$$x^{\ast }=\sum _{i=1}^n{c}_i{x}_i$$由$A{x}_i={\lambda }_i{x}_i$ $$A{x}^{\ast }=A\sum _{i=1}^n{c}_i{x}_i=\sum _{i=1}^n{c}_{i}A{x}_i=\sum _{i=1}^n{c}_i{\lambda }_i{x}_i=b$$因此, 可以根据$b$计算$c_i$, 再代入$x^{\ast }$的分解式, 得到$Ax=b$的解
通过此例思考特征值和特征向量的意义

相似矩阵

表示同一线性变换在不同基下的的变换矩阵之间的关系

设$A,B$均为$n$阶方阵, 若存在可逆矩阵$P$, 使$$B=P^{-1}AP$$则称$A$是$B$的相似矩阵或$B$是$A$的相似矩阵

相似矩阵的性质

若$A,B$相似, 则$A$和$B$的特征多项式相同, 从而二者特征值相同

若$A$与对角矩阵$$\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& \cdots & 0\\ ⋮& & ⋮\\ 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right]$$相似, 则${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$即为$A$的$n$个特征值

$n$阶方阵的对角化

$n$阶方阵$A$的对角化: 若存在可逆矩阵$P$, 使$$P^{-1}AP=\Lambda$$为对角矩阵, 称该运算为矩阵$A$的对角化, 且有$$\{\begin{array}{rl}& P=(P_1,P_2,\dots ,P_n),\\ & A{P}_i={\lambda }_i{P}_i\end{array}$$其中$P_i$为列向量, 恰为特征值${\lambda }_i$对应的特征向量, $P$不唯一, 也可能为复矩阵

方阵$A$与对角矩阵相似的充要条件

$n$阶方阵$A$与对角矩阵$\Lambda$相似的充分必要条件是$A$有$n$个线性无关的特征向量

若$n$阶方阵$A$的$n$个特征值互不相等, 则$A$与$\Lambda$相似

实对称矩阵

实对称矩阵的特征值也是实数

实对称矩阵的特征向量也可以为实向量, 因${\lambda }_i$为实数, 则齐次线性方程组有$$(A-{\lambda }_{i}E)x_i=0$$是实系数方程组, …

实对称矩阵必可以对角化

6 二次型

一般二次型

含有$n$个变量$x_1,x_2,\dots ,x_n$的二次齐次函数$$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_i{x}_j$$称为一般二次型, 可以表示为矩阵形式$$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=[x_1,x_2,\dots ,x_n]\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \cdots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$$, 可简记为$$f(x)=x^{T}Ax$$注意, 矩阵$A$为对称矩阵, 即$$A^T=A$$

标准二次型

若一般二次型没有变量的交叉相乘项, 即$$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}{x}_i^2$$称为标准二次型, 矩阵表示下$A$为对角矩阵

二次型对角化 : 正交变换法

给定一般二次型$f(x)=x^{T}Ax$, 寻找可逆矩阵$C$, 使得$$f(y)=x^{T}Ax=(Cy{)}^{T}A(Cy)=y^T(C^{T}AC)y=y^{T}By$$为$y$的标准二次型, 式中, $$B=C^{T}AC$$次过程称为二次型的对角化

任给可逆矩阵$C$, 令$B=C^{T}AC$, 若$A$为对称矩阵, 则$B$也是对称矩阵, 且$A,B$的秩相等

任意二次型存在正交变换$x=Py$, 使$f(x)$变换为标准二次型$f(y)=y^{T}By$, $B$为对角矩阵, 且对角元素为$A$的特征值,

根据$n$阶方阵的对角化相关内容, 任意实对称矩阵$A$存在正交矩阵$P$, 使$P^{-1}AP=\Lambda$, 而正交矩阵满足$P^{-1}=P^T$, 即$P^{T}AP=\Lambda$

正交矩阵: $$P^{-1}=P^T$$

二次型对角化 : Lagrange配方法

.略

正定二次型

设二次型$f(x)=x^{T}Ax$, 若对于任意$x\ne 0$都有$f(x)>0$, 则$f(x)$称为正定二次型, 并称对称矩阵$A$是正定的. 若对于任意$x\ne 0$都有$f(x)<0$, 都有$f(x)<0$, 则称其为负定二次型, 同时称对称矩阵$A$为负定的.

惯性定理
设实二次型$f(x)=x^{T}Ax$, 其秩为$r$, 有两个实的可逆变换$$x=CY$$ $$x=Pz$$使$$\{\begin{array}{r}f(y)=k_1{y}_1^2+\dots +k_r{y}_r^2{k}_i\ne 0\\ f(z)={\lambda }_1{z}_1^2+\dots +{\lambda }_r{z}_r^2{\lambda }_i\ne 0\end{array}$$则$k_1,\dots ,k_r$中的正数个数与${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_r$中正数个数相等

正二次型的充要条件

实二次型为$f(x)=x^{T}Ax$为正定的充分必要条件是, 它的标准型中$n$个系数全为正

推论: 对称矩阵$A$为正定的充要条件是$A$的特征值全为正

Hermite矩阵

见矩阵论 - Part I - 对称矩阵和反对称矩阵, Hermite矩阵是实数域上的对称矩阵和反对称矩阵的推广

自共轭矩阵

实对称矩阵的推广, 实对称矩阵为转置等于本省, 共轭转置等于自身的复矩阵称Hermite矩阵

推论: 任一复矩阵可分解为Hermite矩阵和反Hermite矩阵之和

Hermite二次型

若$A$是Hermite矩阵, 则$$H(x)=x^{\ast }Ax$$称为Hermite二次型, 其中$[{]}^{\ast }$为共轭转置

Hermite二次型的性质

性质1: Hermite二次型$H(x)$为实数

性质2: Hermite矩阵的特征值$\lambda$为实数

7 矩阵变换