动态规划专题（二）——树形DP

前言

$DP$这东西真的是博大精深啊…

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简介

树形$DP$，顾名思义，就是在树上操作的$DP$，一般可以用$f_i$表示以编号为$i$的节点为根的子树中的最优解。

转移的时候一般都将信息由子节点转移到父亲节点，也就是将信息从下往上转移。

因此，一般树形$DP$都会采用 递归 的形式。

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典例1：树上背包

树形$DP$中有一种比较经典的题型：树上背包。

其实它的思想与普通背包差不多，关键在于它玄学的时间复杂度。

很多看似$O(n^3)$会$T$飞（实际上也的确是这样）的题目，可能你用$O(n^3)$的树上背包却能跑过（时间复杂度我也不会证），而且不是因为数据水。

可参考一道例题：【洛谷1273】有线电视网。

$Link$

【洛谷1273】有线电视网 的题解 详见博客 【洛谷1273】有线电视网（树上背包）

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典例2：带权树的直径

普通的树的直径可以用$BFS$来求，但如果是带权的，$BFS$就会被卡炸（可惜我之前不知道）。

于是就用上了树形$DP$。

可参考一道例题：【杂题】访问计划。

$Link$

【杂题】访问计划 的题解 详见博客 2018.10.03 NOIP+ 模拟赛 解题报告中的$T2$

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几道例题

好吧，$DP$好像也没什么东西可讲，这样介绍得还是不够具体。干脆直接看例题来理解一下吧。

第一道例题： 【51nod1299】监狱逃离

这题是一道挺有意思的树形$DP$题，我们可以考虑用$f$数组来记录每一个节点的状态：完全封死、可以从这个节点到达叶子节点、有犯人可以到达该节点，然后就不难统计出答案了。

第二道例题： 【BZOJ4033】[HAOI2015] 树上染色

比较经典的树形$DP$题。这道题最值得注意的地方不是$DP$过程，而是注意在一棵有$n$个节点的树上将$m$个节点染成黑色与将$n-m$个节点染成黑色其实是等价的，不加上这个优化就会$TLE$。

第三道例题： 【BZOJ1040】[ZJOI2008] 骑士

一道恶心的基环外向树$DP$，应该是比较模板的吧。

$Link$

【51nod1299】监狱逃离 的题解 详见博客 【51nod1299】监狱逃离（树形DP）

【BZOJ4033】[HAOI2015] 树上染色 的题解 详见博客 【BZOJ4033】[HAOI2015] 树上染色（树形DP）

【BZOJ1040】[ZJOI2008] 骑士 的题解 详见博客 【BZOJ1040】[ZJOI2008] 骑士（基环外向树DP）