求数组的子数组之和的最大值

问题：对于一个无序数组，数组中的每个元素可正可负，对于每一个子数组都有一个和值，求这些和中的最大值。

思路一：最直接的思路，记Sum[i,...,j]为子数组元素A[i]~A[j]的和，遍历所有可能的Sum[i,...,j],返回结果中的最大值即可，算法复杂度为O(N^3)。

代码：

int MaxSum(int *A,int n)
{
	int maximum = A[0];
	int sum;
	for(int i=0;i maximum)
				maximum = sum;
		}
	}
	return maximum;
}

思路二：注意这样的事实：A[i,...,j] = A[i,...,j-1] + A[j]，那么优化掉最内层的for循环，算法复杂度可以减小到O(N^2)。

代码：

int MaxSum2(int *A, int n)
{
	int max = A[0];
	int sum;
	for(int i=0;imax)
				max = sum;
		}
	}
	return max;
}

思路三：对于序列A[i]~A[j]，可以分解为序列A[i]和A[i+1]~A[j]，那么序列A[i+1]~A[j]中子序列和的最大值记为nAll，序列A[i+1]~A[j]以A[i+1]开头的子序列和最大值记为nStart，那么序列A[i]~A[j]子序列和的最大值为MAX{A[i],A[i]+nStart,nAll}，算法复杂度为O(N)。

代码：

int Max2(int a,int b)
{
	return a>b?a:b;
}
int MaxSum3(int A[],int n)
{
	int nStart = A[n-1];
	int nAll = A[n-1];
	for(int i = n-2;i >= 0;i--)
	{
		nStart = Max2(A[i],A[i] + nStart);
		nAll = Max2(nStart,nAll);
	}
	return nAll;
}

将序列倒过来看可以换个写法：

int MaxSum4(int *A,int n)
{
	int nStart = A[0];
	int nAll = A[0];
	for(int i=1;i

测试代码：

int main()
{
	int a[6] = {1,-2,3,5,-3,2};
	int b[6] = {0,-2,3,5,-1,2};
	int c[6] = {-9,-2,-3,-5,-3,-8};

	printf("%d\n",MaxSum(a,6));
	printf("%d\n",MaxSum(b,6));
	printf("%d\n",MaxSum(c,6));

	printf("%d\n",MaxSum2(a,6));
	printf("%d\n",MaxSum2(b,6));
	printf("%d\n",MaxSum2(c,6));

	printf("%d\n",MaxSum3(a,6));
	printf("%d\n",MaxSum3(b,6));
	printf("%d\n",MaxSum3(c,6));

	printf("%d\n",MaxSum4(a,6));
	printf("%d\n",MaxSum4(b,6));
	printf("%d\n",MaxSum4(c,6));

}

测试输出：

8
9
-2
8
9
-2
8
9
-2
8
9
-2

REF:

1,编程之美