753 Cracking the Safe

方法一 Hierholzer’s Algorithm
相关概念：
1 欧拉路径：在无向图中，每个边只经过一次，形成的路径。在有向图中，是指每条有向边只使用一次，形成的路径。
2 欧拉回路：欧拉路径是一个环。
3 在无向图中，存在欧拉路径的条件是：每个顶点的边是偶数。或者图中有两个是奇数条边的顶点。
4 在图中找欧拉回路的算法Hierholzer’s Algorithm。算法描述是：选择开始顶点v，沿着顶点v的边一直访问直到访问到顶点v。这个访问是不可能卡在其他节点停止的，因为图中所有节点的边是偶数。从一个顶点进去，就要从一个顶点出来，直到顶点v。这个路径是一个欧拉回路，但可能没有覆盖了图中所有的边。在前面一个路径中如果存在节点u，u有邻边还没有访问，从顶点u继续访问得到一个欧拉回路，将该回路接到上之前访问的路径后，得到新的访问路径。直到所有顶点的边都访问完，得到完整的欧拉回路。
这里注意：新的路径接到前面的路径不是简单的放在后面，而是可能插在中间的。具体细节查看《数据结构与算法分析Java语言描述》第2版的第266,267页。

翻译到这都题目是这样的。所有答案的组合数是k^n。那么我们把前n-1个字符串看做是节点，最后一个字符是边。例如n=2，k=2，所有可能的组合是00,01,10,11。那么可以把0,1看做节点。0节点有两条边，分别为0,1，得到组合00,01。

欧拉回路是：从节点0开始，0,1,1,0;
最后答案将节点0补上 :00110。参考官网解决方案一中提出了post-order概念。
自己的思想：用map构建图，实现Hierholzer’s算法。

DFS
想法：为了符合要求，最后返回的字符串answer应该包含所有可能的组合。可能的组合数应该是k^n。为了让answer最短，直觉上应该是使得answer的最后n-1个字符可以重用。
例如：n=2，k=2，所有可能的组合是00,01,10,11。answer=(00110)。
DFS的实现是：
目标：找到包含所有组合的最短字符串
创建图：节点是所有可能的组合，例如：00,01,10,11；边：如果node1的最后n-1个字符加上[0,k-1]范围内的任何一个数可以得到node2，则node1和node2之间有条边。例如 (00)+1=>(01)，则00和01之间有条边。
转移：对每一个节点，取最后n-1位，如果能够有边，成功转移到另外一个未被访问的节点，则继续DFS。退出条件是：所有的组合都访问完成。
来自网页
代码实现：

方法二：Inverse Burrows-Wheeler Transform
1 Lyndon Word：Lyndon word 是一个非空字符串，在字典顺序上，比它的所有旋转都要（严格地）小。
Lyndon word的性质：一个Lyndon word 被分为左右两部分，左边的字符串在字典顺序上严格小于右边的字符串。 w=uv,u<v w = u v , u < v 。如果v尽可能的长，则将u，v称为标准分解（standard factorization）
举例来讲，用{0,1}可以组成的Lyndon word 可能有：0,1,01,001,011,0001,0011,0111…
来自wiki
2 de Bruijn sequences
将长度为n的Lyndon word 按字典顺序链接起来，形成de Bruijn sequences。这个视频中有讲解。


这两张图片来源于视频中。
3 Inverse Burrows-Wheeler Transform
IBWT算法生成可以形成de Bruijn 序列的Lyndon word。