命名实体识别LSTM+CRF的前向计算推导

在用LSTM+CRF做命名实体识别任务时，由于pytorch框架的crf需要自己实现，网上的很多教程都跳过了一些关键部分导致自己难以理解。本文用来记录自己的相关理解，仅针对线性链式的CRF。欢迎指正。

1. log linear model

CRF、MEMM、N元逻辑回归都属于log linear model。我们先来理解这个大类。
$$p(y|x;{\mathbf{w}}_{|J|})=\frac{\exp ({\mathbf{w}}_{|J|}\cdot {\mathbf{F}}_{|J|}(x,y))}{{\sum }_{y^{\prime }\in \mathcal{Y}}\exp \left({\mathbf{w}}_{|J|}\cdot {\mathbf{F}}_{|J|}\left(x,y^{\prime }\right)\right)}$$
其中$\mathbf{w}$为模型参数，${\mathbf{F}}_{|J|}(x,y)$为给定输入特征$x$,输出标签$y$的特征向量。

注意：这里模型参数和特征向量都为J, 物理意义是该模型一共有J个特征。点乘表示用这J个特征计算一个分数。与NLP任务中输入序列长度无关！

1.2 逻辑回归

各种log linear model模型的区别，仅仅是在特征函数${\mathbf{F}}_{|J|}(x,y)$的定义不同。对于逻辑回归，假设特征x长度为M, 标签类别数为N, 那么$J=M\ast N$。且$$F_j=flaten(\mathbf{x}\times {\mathbf{I}}_{y=C})$$

1.1 CRF与逻辑回归的区别

CRF与逻辑回归的不同，在于

• (1)CRF的特征函数${\mathbf{F}}_{|J|}(x,y)$考虑了输入数据中的时序信息
  $${\mathbf{F}}_{|J|}(x,y)=\sum _{i=2}^T{f}_{|J|}(x_i,y_i,y_{i-1})\text{\hspace{1em}(1.1)}$$
• (2)CRF的y与x都增加了一个维度，即序列长度T

2. NER中的LSTM+CRF

2.1 CRF的特征定义

对于NER任务中，序列长度为T，标签类别数为n的数据，LSTM的输出特征矩阵$B_{T\times n}$作为CRF层的输入，$B_{i,j}$为第$i$个时间步为标签$j$的概率。NER任务的CRF中我们定义了两个特征函数：

• 输入特征B （代码中的feats, 可以理解为发射概率矩阵）
• 和转移特征A (代码中的transition矩阵)

权重$w=[1,1]$现在重写CRF的特征如下，并将其定义为score：
$$\begin{array}{rl}score(y|A,B)& ={\mathbf{w}}_{|J|}\cdot {\mathbf{F}}_{|J|}(x,y))\\ & =\mathbf{w}\cdot \sum _{i=2}^T{f}_{|J|}(x_i,y_i,y_{i-1})\\ & =B_{1,y_1}+\sum _{i=2}^T(B_{i,y_i}+A_{y_{i-1},y_i})\end{array}$$

理解了这两个特征，就成功的将CRF于NER任务结合了。下面要知道如何估计特征参数，即反向传播A和B。

2.2 参数估计

对于一个训练样本，有一个输入序列x和一个tag序列y。x经过LSTM层得到特征矩阵B。
我们的目标是求现有参数下的概率$p(\mathbf{y}|A,B)$，并最大化这个值，按照老规矩使用其负对数作为loss, 回到log-linear model的定义，：
$$\begin{array}{rl}loss& =-log(p(\mathbf{y}|A,B))\\ & =-log(\frac{exp(score(y|A,B))}{{\sum }_{\hat{y}}exp(score(\hat{y}|A,B))})\\ & =log(\sum _{\hat{y}}exp(score(\hat{y}|A,B)))-score(y|A,B)\\ & =log\_sum\_exp(score(\hat{y}|A,B)))\end{array}$$

一旦loss确定，剩下的事就可以交给pytorch框架来自动优化了。但是上面这个loss怎么计算呢？$score(y|A,B)$这一项好说，线性复杂度O(T)。

2.3 全局正则项的计算推导

$Z=log({\sum }_{\hat{y}}exp(score(\hat{y}|A,B)))$这一项，如果用暴力计算，就是要先算出每一个时间步的所有可能路径，复杂度为$O(T{n}^T)$, 分类数稍多一点就会凉。需要想办法消掉指数复杂度，而很巧的是，这确实可以在输入序列上转换为子问题，从而使用动态规划算法。根据上述score的计算公式，可以将输入序列长度为$T$的正则项写为：
$$\begin{gathered} Z=log(\sum _{\hat{y}}exp(score({\hat{y}}^{(1,T-1)}|A,B)+score({\hat{y}}^{(T-1,T)}|A,B))) \\ =log(\sum _{\hat{y}}(e^{score({\hat{y}}^{(1,T-1)}|A,B)}\cdot e^{score({\hat{y}}^{(T-1,T)}|A,B)})) \end{gathered}$$
注意这里$score({\hat{y}}^{(T-1,T)}|A,B)=B_{T,y_T}+A_{y_{T-1},y_T}$，表示所有路径在第T-1到第T步的分数，将其作为系数，合并同类项：
$$\begin{gathered} Z^{(T)}=log(\sum e^{score({\hat{y}}^{(T-1,T)}|A,B)})\sum _{\hat{y}}(e^{score({\hat{y}}^{(1,T-1)}|A,B)}) \\ =Z^{(T-1)}+log\_sum\_exp(score({\hat{y}}^{(T-1,T)}|A,B)) \end{gathered}$$
到这里就该知道是标准的动态规划了。

参考文献

1. Pytorch Bi-LSTM + CRF 代码详解
2. Bi-LSTM-CRF for Sequence Labeling
3. Bi-LSTM Conditional Random Field Discussion
4. 系列文章：CRF Layer on the Top of BiLSTM - 5