【学习小记】狄利克雷卷积+杜教筛

Preface

这东西分明就是玄学暴力
用来求简单的数论函数的前缀和，像 φ,μ 这类的东西

当然，约数和，约数个数之类的也是可以的

Text

数论函数是指定义域是整数，陪域是复数的函数

Dirichlet 卷积

定义两个数论函数 f,g
它们的狄利克雷卷积表示 f∗g ，设卷起来得到的新函数是 h

h(i)=∑d|if(i)g(id)

明显 h 也是一个数论函数

显然它满足交换，结合律，对加法满足分配律

有常见的一些数论函数
1(i)=1，n(i)=n （常函数）
e(1)=1,e(n)=0(n>1) （单位元）
id(i)=i
idk(i)=ik
μ(i) （莫比乌斯函数，不解释）
φ(i) （欧拉函数，不解释）
约数个数，设为 d(i)=∑d|i1
约数和，设为 σ(i)=∑d|id

显然有以下常见的卷积形式

任意函数卷积单位元仍为它本身

• d=1∗1

• σ=id∗1

因为 e(n)=∑d|nμ(d)
所以

• e=1∗μ

因为 φ(n)=∑d|nμ(d)nd
所以

• φ=μ∗id

因为 n=∑d|nφ(d)
所以

• id=φ∗1

杜教筛

考虑如何求 μ 的前缀和

比如说 1010 ？
线筛会T

设 S(n)=∑i=1nμ(i)
确定一个合适的数论函数 g

∑i=1n(g∗μ)(i)=∑i=1n∑d|iμ(id)g(d)

交换主体

=∑d=1n∑d|iμ(id)g(d)

=∑d=1ng(d)∑i=1⌊nd⌋μ(i)

=∑d=1ng(d)S(⌊nd⌋)

那么 g(1)S(n)=∑i=1n(g∗μ)(i)−∑d=2ng(d)S(⌊nd⌋)

要使 g 和 g∗μ 尽量容易求，可以想到 g 用 1 函数是比较合适的，即 g(i)=1

因为 1∗μ=e
原式化为

S(n)=1−∑d=2nS(⌊nd⌋)

可以用线筛预处理前 (√n) 或者 n23 的 S ，后面减的部分分块处理，递归下去，再哈希或者什么东西把算过的S记忆化一下

复杂度取决于预处理的多少

实验和理论都证明，预处理前 n23 个S，总复杂度最优，为 O(n23)

据说证明要用积分？然而我并不会。。。

对于求欧拉函数的前缀和，方法也是一样的， g 仍取 1 ，只不过 g∗φ=id
前面的1改成 n(n+1)/2