最大流 Ford-Fulkerson算法

最大流和割的关系：

定理一：如果f是网络中的一个流，CUT（S,T）是任意一个割，那么f的值等于正向割边的流量与负向割边的流量之差。

证明：
设X和Y是网络中的两个顶点集合，用f（X,Y）表示从X中的一个顶点指向Y的一个顶点的所有弧（弧尾在X中，弧头在Y中：XY）的流量和。
只需证明：f=f(S,T)-f(T,S) 即可。下列结论成立：
如果X∩Y= ，那么：
f(X,(Y1∪Y2))=f(X,Y1)+f(X,Y2)
f((X1∪X2),Y)=f(X1,Y)+f(X2,Y) 成立。
根据网络流的特点：

如果V既不是源点也不是汇点，那么：
f({V},S∪T)-f(S∪T,{V})=0，可知任何一个点，流入的与流出的量相等。
如果V是源，那么：
f({V},S∪T)-f(S∪T,{V})=f

对于S中的所有点V都有上述关系式，相加得到：
f(S,S∪T)-f(S∪T,S)=f

又因为：
f(S,S∪T)-f (S∪T,S)
= (f(S,S)+f (S,T))-(f(S,S) +f (T,S))
= f(S,T)- f(T,S)

所以：f= f(S,T)- f(T,S) 定理得证。

f= f(S,T)- f(T,S)<=f(S,T)<=割CUT(S,T)的容量。
推论1：如果f是网络中的一个流，CUT（S,T）是一个割，那么f的值不超过割CUT（S,T）的容量。
推论2：网络中的最大流不超过任何割的容量

定理2：在任何网络中，如果f是一个流，CUT（S,T）是一个割，且f的值等于割CUT（S,T）的容量，那么f是一个最大流，CUT（S,T）是一个最小割（容量最小的割）。
证明：

令割CUT（S,T）的容量为C，所以流f的流量也为C。
假设另外的任意流f1，流量为c1，根据流量不超过割的容量，则c1<=c,所以f是最大流。
假设另外的任意割CUT（S1,T1），容量为c1，根据流量不超过割的容量，所以有c1>=c,故，CUT（S,T）是最小割。

定理3：最大流最小割定量：在任何的网络中，最大流的值等于最小割的容量。

结论1：最大流时，最小割cut（S，T）中，正向割边的流量=容量，逆向割边的流量为0。否则还可以增广。
结论2：在最小割中cut（S，T）中：

① 源点s∈S。
② 如果i∈S，结点j满足：有弧,并且c[I,j]>f[I,j]或者有弧并且f[j,i]>0,那么j∈S。//否则不是最小割
即从s出发能找到的含有残留的点组成集合S。其余的点组成集合T。

Ford-Fulkerson算法的实现：

#include 
#include 
using namespace std;

#define MAX_N 1001
#define INF 0xffffff
#define min(a, b) (a < b ? a : b)

struct edge {
	int to, cap;
	int rev;

	edge(int t, int c, int r) {
		to = t;
		cap = c;
		rev = r;
	}
};

vector G[MAX_N];
bool visited[MAX_N];
int n, m;

// 每对顶点添加正反边
void addEdge(int from, int to, int cap) {
	G[from].push_back(edge(to, cap, G[to].size()));
	G[to].push_back(edge(from, 0, G[from].size() - 1));
}

int dfs(int v, int t, int f) {
	int i;

	if (v == t) {
		return f;
	}

	visited[v] = true;
	for (i = 0; i < G[v].size(); i++) {
		edge &e = G[v][i]; 
		if (!visited[e.to] && e.cap > 0) {
			int d = dfs(e.to, t, min(f, e.cap));
			if (d > 0) {
				e.cap -= d;
				G[e.to][e.rev].cap += d;
				return d;
			}
		}
	}

	return 0;
}

int maxFlow(int s, int t) {
	int flow = 0;

	while (true) {
		memset(visited, 0, sizeof(visited));
		int f = dfs(s, t, INF);

		if (f == 0) {
			return flow;
		}
		flow += f;
	}
}

int main() {
	int i, j;
	int from, to, cap;

	while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF && n || m) {
		for (i = 0; i < n; i++) {
			G[i].clear();
		}

		for (i = 0; i < m; i++) {
			scanf("%d%d%d", &from, &to, &cap);
			addEdge(from, to, cap);
		}

		printf("%d\n", maxFlow(0, n - 1));
	}

	return 0;
}

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