图论--中国邮递员问题

中国邮递员问题就比较悲催了。前后花了我大概有三天的时间。。今天才做完的。。

 

首先描述一下问题：

邮递员从邮局出发送信，要求对辖区内每条街都至少通过一次，再回邮局。在此条件下，怎样选择一条最短路线？

如果街区形成的图本身就是一个欧拉回路，最短路自然是所有街道的总长度。可是如果不是，我们将必须重复一些路径，换句话说，怎样使重复的路径的总长度最短。

 

这个问题涉及的问题包括：

（1）判别是否是欧拉回路（首先图必须是连通的，其次所有顶点的度数都为偶数。）

（2）如果不是欧拉回路，即有多个顶点的度数为奇数（我们且称它们为奇点吧，奇点的个数必定是偶数），则我们必须将该图构造成一个欧拉图，需要做的事情有：

  （2.1）计算各个奇点间的最短路径

  （2.2）将这些奇点以及奇点间的最短路径做为一个二分图，求二分图的最小权匹配。（例如，我们有四个奇点1,2,3,4, 则左1与右1之间的边的权重为无穷大，左1与右2的边的权重为奇点1到奇点2的最短距离，依此类推，最终得到的最小权总数是实际增加的路径长度的两倍）

  （2.3）最小权匹配得到的两两成对的顶点，将这些顶点之间的最短路径经过的边重复一遍，形成的欧拉回路将是最短的。

（3）找出一条欧拉回路。在网上看到有两种找法，一种是fleury算法，一种是我自己命名的画圈圈的方法，也就是用来证明“所有顶点的度数都为偶数的连通图必定是欧拉回路”的方法。

 

因此，整个过程涉及到的算法包括：

（1）最短路径算法。（这个我想大家都懂，不必多说了）

（2）KM算法求二分图最小权匹配。（http://www.cnblogs.com/zhuangli/archive/2008/08/03/1259248.html 我主要也是参考这个的）

（3）fleury算法或“画圈圈”算法。

 

具体实现的时候，我用两个矩阵来记录这个图，一个是点与点间的距离，一个是点与点间边的数目（一开始最多是一条），同时记录总路径长度。然后也用了两个数组来记录奇点，一个是作索引用的。把所有奇点做为起始点求最短路径。我在最短路径中把求到的最短距离记录到了二分图的权重矩阵中，并返回了记录路径的数组。然后把在最短路径中求出来的权重矩阵做为最小权匹配的输入，求出最优匹配。最后通过索引数组和在求最短路径时得到的路径(s)一一添加到记录点与点间边数的矩阵中，然后将它作为求欧拉回路的输入。

 

主函数如下：

int connected( int** g, int vnum );
int* bestMatch( int** weight, int n );
path* eulerCircle( int** g, int* indgr, int num );
main(){
	
	int vnum, onum, i, j, k, total=0, hasEuler=1;
	//ge is to record the number of edges between to nodes while gd the distance
	int** ge, **gd;
	int* indgr;
	int** weight;
	printf( "enter the number of nodes: " );
	scanf( "%d", &vnum );
	ge = (int**)malloc( sizeof(int*)*vnum );
	gd = (int**)malloc( sizeof(int*)*vnum );
	for( i=0; i=0 ){
				index[j]=i;
				paths[j] = (int*)malloc( sizeof(int)*vnum );
				//in the shortestPath we also construct the weight map of the oddSet
				shortestPath( gd, paths[j], vnum ,i, weight, oddSet ); 
				j++;
			}
		}
		
		//now is to find the best Match for the oddset
		int* result = bestMatch( weight, onum );
		for( i=0; i 
  
 
 
  
connected()很简单，就是一个宽搜，确定整个图是连通的就好。
 
  
shortestPath()带了参数paths，weight, oddSet都是为了求最优匹配和重建路径而设的。paths记录的是最短路径中从起始点到目标点前的最后一个顶点，利用这个数组我们可以重建最短路径。
 
  
bestMatch()求最小权匹配，返回一个数组，记录匹配的结果。（算法原理可以看一下我上面提供的链接）
 
  
eulerCircle()从0开始，通过画圈圈的方法把欧拉回路给找出来。
 
  
最后一个函数我另开一篇记录吧，呵呵。