【数值分析】插值法：拉格朗日插值、牛顿插值

本科课程参见：《软件学院那些课》

拉格朗日插值法

（*以下定义选自维基百科）

算法流程图

算法代码

#include
#include
#include
using namespace std;

double Lagrange(int N,vector&X,vector&Y,double x);

int main(){
  char a='n';
  do{
    cout<<"请输入差值次数n的值："<>N;
    vectorX(N,0);
    vectorY(N,0);
    cout<<"请输入插值点对应的值及函数值(Xi,Yi)："<>X[a]>>Y[a];
    }
    cout<<"请输入要求值x的值："<>x;
    double result=Lagrange(N,X,Y,x);
    cout<<"由拉格朗日插值法得出结果： "<>a;
  }while(a=='y');
  return 0;
}

double Lagrange(int N,vector&X,vector&Y,double x){
  double result=0;
  for(int i=0;i

牛顿插值法

牛顿插值法公式如下，具体参见（百度文档）

算法流程

算法代码

#include
#include
#include
using namespace std;

double ChaShang(int n,vector&X,vector&Y);
double Newton(double x,vector&X,vector&Y);

int main(){
  int n;
  cin>>n;
  vectorX(n,0);
  vectorY(n,0);
  for(int i=0;i>X[i]>>Y[i];
  }
  double x;
  cin>>x;
  cout<&X,vector&Y){
  double f=0;
  double temp=0;
  for(int i=0;i&X,vector &Y){
  double result=0;
  for(int i=0;i

实验过程原始记录

给定函数四个点的数据如下：


试用拉格朗日插值确定函数在x=2.101，4.234处的函数值。
运行得到结果：


已知用牛顿插值公式求的近似值。
运行程序得到结果： 2.26667

实验分析

1、Lagrange插值法和Newton插值法解决实际问题中关于只提供复杂的离散数据的函数求值问题，通过将所考察的函数简单化，构造关于离散数据实际函数f（x）的近似函数P（x），从而可以计算未知点出的函数值，是插值法的基本思路。
2、实际上Lagrange插值法和Newton插值法是同一种方法的两种变形，其构造拟合函数的思路是相同的，而实验中两个实际问题用两种算法计算出结果是相同的。
3、实验所得结果精确度并不高，一方面是因为所给数据较少，另一方面也是主要方面在Win32中C++中数据类型double精度只有7位，计算机在进行浮点运算时截断运算会导致误差。实际问题中，测量数据也可能导致误差。
4、在解决实际问题中，更多是利用精确且高效的计算机求解。所以解决问题时不仅要构造可求解的算法，更重要是构造合理的可以编写成程序由计算机求解的算法，而算法的优化不仅可以节省时间空间，更能得到更为精确有价值的结果。

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