谱估计，Welch法，不使用pwelch函数条件下实现。

帕塞瓦尔定理，离散序列情况下：

假设有以长度为N的离散随机序列, 做NFFT点的傅里叶变换，得到,信号的采样频率为

 

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对于matlab使用fft函数的一点说明：

在采样频率为的条件下，

如果做FFT的点数（NFFT）为奇数的时候，FFT之后的频率范围为，对应的序列的长度为;

如果做FFT的点数（NFFT）为偶数的时候，FFT之后的频率范围为，对应的序列的长度为；

对于一段实数序列，做快速傅里叶变换之后既包含正频率，也包括负频率，由于负频率是没有实际意义的，绘制频谱图的时候要将这部分频率叠加到正频率上去，保证能量守恒。

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    # 两边同时除以N

    # 只取非负频率

 # NFFT为偶数的情况下的转换

   # 对一段数据进行谱级估计

 

使用pwelch法要对数据进行分段

假设每段数据长度为M，数据总长度为N，重叠率overlap_rate, 那么数据可以分为L段，对于不足长度M的数据进行舍弃；

加窗函数条件下：

长度为M；

pwelch:

 

matlab程序：

clear;
close all;
clc;

% 程序说明：谱级估计
% 作者： JaingKe
% 日期： 2018/09/26
% 产生一段均值为0，方差为p的高斯白噪声序列
p       =   2;
N       =   204800;             % 信号的数据长度
Fs      =   1000;               % 信号的采样频率
u       =   randn(N,1);         % 产生长度为 N 的随机序列
a       =   sqrt(p);
noise   =   u * a;

power_u = var(noise);           % 计算整段数据的方差
fprintf('整段高斯随机序列的方差：   % .3f \n', power_u);

M       =   2048;           % 做fft 每一段数据的长度
nfft    = 2048;             % 做fft的点数
overlap_rate = 40;          % 重叠率（百分比%）

Pfft        = 10*log10(Fs/nfft);
n_overlap   = ceil(M * overlap_rate * 0.01);                % 重叠的点数，往大的方向取整
L           = floor((N - n_overlap ) / (M - n_overlap));    % 计算分成了多少段数据
N_used      = (M - n_overlap) * (L - 1) + M;                % 实际使用的数据总长度 

noise_used = noise(1:N_used,1);
window_fun = window(@rectwin, M);

P_win      = sum(window_fun.^2)/M;    % 窗函数能量的计算

if mod(nfft, 2) == 1 % 奇数
    f = ((0 : (nfft + 1)/2) * Fs / nfft).';
    fft_sum = zeros((nfft + 1)/2, 1);
    abs_fft_half = zeros((nfft + 1)/2, 1);
else
    f = ((0 : (nfft/2 )) * Fs / nfft).';
    fft_sum = zeros((nfft/2 + 1), 1);
    abs_fft_half = zeros((nfft/2 + 1), 1);
end

for n = 1:1:L
    nstart = ( n - 1 )*(M - n_overlap);
    temp_noise = noise_used(nstart + 1: nstart + M, 1).*window_fun;
    temp_fft = fft(temp_noise)/nfft;
    
    temp_fft_half = temp_fft(1: nfft/2 + 1, 1);
    temp_fft_half(2:nfft/2,1) = 2*temp_fft_half(2:nfft/2,1);
    
    abs_fft_half(1,1) = abs(temp_fft_half(1, 1)).^2;
    abs_fft_half(nfft/2 + 1, 1) = abs(temp_fft_half(nfft/2 + 1,1)).^2;
    abs_fft_half(2:nfft/2,1) = 0.5*abs(temp_fft_half(2:nfft/2, 1)).^2;
    
    fft_sum = fft_sum(:,1) + 1 / P_win * abs_fft_half;
end

fft_sum = fft_sum ./ L;
figure(1);
plot(f, 10*log10(fft_sum)- Pfft,'-o');
title('自己计算和内置函数计算得到的结果对比');
xlabel('频率/Hz');
ylabel('谱级/dB');
grid on;
hold on;

pxx = pwelch(noise_used, window_fun, n_overlap, nfft, Fs);
plot(f, 10*log10(abs(pxx)));

legend('自己计算得到的','Pwelch函数得到的');
 

matlab仿真结果：可以看出两种方法计算得到的结果完全重合；