最简单易懂《大话数据结构》KMP模式匹配算法next数组代码解析

问题描述

  最近在学习《大话数据结构》这本书，在看字符串这个章节的时候，书上讲述了KMP模式匹配算法来匹配字符串。
  在看了书上的描述后，相信很多人会跟我一样，对KMP算法有了一定的了解，也知道了原理。大家都知道KMP算法难点在于next数组的理解，我们可能知道通过一个字符串怎么一步步写出来next数组，但并不能理解书里的代码。为此我看了很多博客和视频，但是感觉很多人都是一笔带过，根本不解释为什么，所以自己今天写出来自己以前的疑惑点，供大家参考。

next数组公式

我们先来看看书上给的next数组的数学模型：

这个公式其实就是书上一步步推导next[j]得来的，比如对于这样一个字符串[a,b,a,b,a,a,a,b,a]：

1. j=1时，next[1]=0，对应公式第1种情况;
2. j=2时，1~j-1只有’a’一个字符，所以next[2]=1，对应公式第3种情况；
3. j=3时，1~j-1是’ab’，没有前后缀相等，所以next[3]=1，对应公式第3种情况；
4. j=4时，1~j-1是’aba’，前缀’a’和后缀’a’相等，next[4]=2，对应公式第2种情况；
5. j=5时，1~j-1是’abab’，前缀’ab’和后缀’ab’相等，next[5]=3，对应公式第2种情况；
6. j=6时，1~j-1是’ababa’，前缀’aba’和后缀’aba’相等，next[5]=4，对应公式第2种情况；
7. j=7时，1~j-1是’ababaa’，前缀’a’和后缀’a’相等，next[5]=2，对应公式第2种情况；
8. j=8时，1~j-1是’ababaaa’，前缀’a’和后缀’a’相等，next[5]=2，对应公式第2种情况；
9. j=9时，1~j-1是’ababaaab’，前缀’ab’和后缀’ab’相等，next[5]=3，对应公式第2种情况；

  这是我们按照前后缀匹配来确定next， 可以看出来，这是与公式对应起来的，也就是说如果next[j]=k，对应于最前面的k-1个字符和第j个字符前的最后面k-1个字符相等相等，就是公式中的第二种情况。

原代码

接着，我们来看看书上给的代码，看看是怎么通过数学模型表示出来的。

/* 通过计算返回子串T的next数组。*/
void get_next(String T, int *next)
{
	int i,j;
	i=1;
	j=0;
	next[1]=0;
	while (i<T[0])		/*此处T[0]表示串的长度 */ 
	{
		if(j==0 || T[i]==T[j])	/* T[i]表示后缀的单个字符 */ 
								/* T[j]表示前缀的单个字符 */ 
		{
			++i;
			++j;
			next[i]=j;
		}
		else
			j=next[j];			/* 若字符不相同，则j值回溯 */ 
	}
 } 

代码中注释有T[i]表示后缀字符，T[j]表示前缀字符，这里有一个关系我们要知道就是：j实际上是next[i]，也就是说前缀是next[后缀]。
这段代码实际上就是递归求出next。初始条件是next[1]=0。
这些大家应该都知道，这篇文章的重点是来解答两个地方：

下面我们就来看看这两步到底怎么来的。
目前已知i，j，和next[i]（也就是j），如何求出next[i+1]，这就是我们的目的。
一、若T[i]==T[j]
此时因为next[i]已知为j，根据上面next的数学公式，我们知道j也就是next[i]满足下图，
在T[i]==T[j]的条件下，这个相等的字符串又变长了，变成了如下所示，

根据next的数学公式，这恰好满足条件二，也就是说next[i+1]=j+1，这就是代码中的第1个疑问的答案。
二、若T[i] != T[j]
这个时候我们知道相等的字符串已经是最大了，此时就需要回溯了，但是 j 要回溯到哪呢，为什么要回溯到 next[j] 那呢？
实际上我们需要在[1, j-1]中，缩减子串的长度，找到一个点k，使得[1, k-1]这个子串与[i - k+1, i - 1]子串相等，即：

那如何确定k值是多少呢？
我们观察这个子串会发现，其实k应该就是next[j]，因为已知两个条件就是

注意，这里的 k=next[j] ，我们这一步是在证明k=next[j]是满足条件的。
证明：
那么能否通过下面两个条件，得到上面我们要求的公式呢？
我们不妨将公式多写几个元素看看。

我们的目的就是要求画横线的两个地方相等，我们结合一张图来看，

蓝色虚线之间和粉色虚线之间相等，分别对应

红色、黄色、绿色、蓝色椭圆对应

我们根据k=next[j]知道红色和黄色椭圆相等，由此而得知绿色和蓝色椭圆也相等，

我们的目的是求红色和蓝色椭圆相等。

因为蓝色虚线之间和粉色虚线之间相等，

得知红色和绿色椭圆相等，

由此，得出红色和蓝色椭圆相等。即：

那么，next[j]就是合理的k值，这刚好解释了第二个疑惑。

这篇文章写得特别的繁琐，就是希望大家在看的时候任何一处地方都不会有疑惑，但也难免造成了可读性特别差，自己的文笔不怎么好，大家将就着看。