线性代数【四】：向量（1）：线性相关及其判别，极大线性无关组，等价向量组
本节为线性代数复习笔记的第二部分，矩阵的概念与计算（1），主要包括：线性相关的概念，五个判别定理，极大线性无关组和等价向量组。
1. 线性相关
对m个n维向量 α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α m ⃗ \vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_m} α1,α2,...,αm，若存在一组不全为零的数 k 1 , k 2 , . . . , k m k_1,k_2,...,k_m k1,k2,...,km，使得线性组合 k 1 α 1 ⃗ + k 2 α 2 ⃗ + . . . + k m α m ⃗ = 0 k_1\vec{\alpha_1}+k_2\vec{\alpha_2}+...+k_m\vec{\alpha_m}=0 k1α1+k2α2+...+kmαm=0，则称向量组 α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α m ⃗ \vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_m} α1,α2,...,αm线性相关。（含有零向量或者有成比例的向量，向量组必然线性相关）
注意有几个等价的判断，即：
1）向量组 α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α m ⃗ \vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_m} α1,α2,...,αm线性相关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔
2 ） A = ( α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α m ⃗ ) 可 逆 ⇔ 2）A=(\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_m})可逆\Leftrightarrow 2）A=(α1,α2,...,αm)可逆⇔
3 ） ∣ α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α m ⃗ ∣ = 0 3）|\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_m}|=0 3）∣α1,α2,...,αm∣=0
若只有当 k 1 = k 2 = . . . = k m = 0 k_1=k_2=...=k_m=0 k1=k2=...=km=0时 k 1 α 1 ⃗ + k 2 α 2 ⃗ + . . . + k m α m ⃗ = 0 k_1\vec{\alpha_1}+k_2\vec{\alpha_2}+...+k_m\vec{\alpha_m}=0 k1α1+k2α2+...+kmαm=0才成立，则称向量组线性无关。
2. 线性相关判别的五个定理
2.1 判别定理(1)
向量 β \beta β可由向量组 α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α s ⃗ \vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s} α1,α2,...,αs线性表出
⇔ \Leftrightarrow ⇔
非齐次方程组 α 1 x 1 + α 2 x 2 + . . . + α s x s = β 有 解 \alpha_1x_1+\alpha_2x_2+...+\alpha_sx_s=\beta有解 α1x1+α2x2+...+αsxs=β有解
⇔ \Leftrightarrow ⇔
r [ α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α s ⃗ ] = r [ α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α s ⃗ , β ⃗ ] r[\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}]=r[\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s},\vec{\beta}] r[α1,α2,...,αs]=r[α1,α2,...,αs,β]
2.2 判别定理(2)
向量组 α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α s ⃗ \vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s} α1,α2,...,αs线性相关
⇔ \Leftrightarrow ⇔
齐次线性方程组 α 1 x 1 + α 2 x 2 + . . . + α s x s = 0 \alpha_1x_1+\alpha_2x_2+...+\alpha_sx_s=0 α1x1+α2x2+...+αsxs=0有非零解
⇔ \Leftrightarrow ⇔
r [ α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α s ⃗ ] < s r[\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}]r[α1,α2,...,αs]<s
⇔ \Leftrightarrow ⇔
∣ α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α s ⃗ ∣ = 0 |\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}|=0 ∣α1,α2,...,αs∣=0
2.3 判别定理(3)
线性相关充要条件：向量组中至少有一个向量可由其他s-1个向量线性标出
2.4 判别定理(4)
若 α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α s ⃗ \vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s} α1,α2,...,αs线性无关，而向量组 α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α s ⃗ , β ⃗ \vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s},\vec{\beta} α1,α2,...,αs,β线性相关，则 β ⃗ \vec{\beta} β可由 α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α s ⃗ \vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s} α1,α2,...,αs唯一线性表出。
2.5 判别定理(5)
I . β 1 ⃗ , β 2 ⃗ , . . . , β s ⃗ ， I I . α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α t ⃗ I.\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},...,\vec{\beta_s}，II.\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_t} I.β1,β2,...,βs，II.α1,α2,...,αt
若 I I I中每一个向量均可由 I I II II中向量线性表出，且s>t，则向量组 I I I线性相关；
若 I I I中每一个向量均可由 I I II II中向量线性表出，且向量组 I I I线性相关，则 s ≤ t s\leq t s≤t。
3. 极大线性无关组
若 α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α s ⃗ \vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s} α1,α2,...,αs中存在部分组 α i 1 ⃗ , α i 2 ⃗ , . . . , α i r ⃗ \vec{\alpha_{i1}},\vec{\alpha_{i2}},...,\vec{\alpha_{ir}} αi1,αi2,...,αir满足：
1） α i 1 ⃗ , α i 2 ⃗ , . . . , α i r ⃗ \vec{\alpha_{i1}},\vec{\alpha_{i2}},...,\vec{\alpha_{ir}} αi1,αi2,...,αir线性无关；
2）任一向量 α i ⃗ \vec{\alpha_{i}} αi均可由 α i 1 ⃗ , α i 2 ⃗ , . . . , α i r ⃗ \vec{\alpha_{i1}},\vec{\alpha_{i2}},...,\vec{\alpha_{ir}} αi1,αi2,...,αir线性表出。
则称 α i 1 ⃗ , α i 2 ⃗ , . . . , α i r ⃗ \vec{\alpha_{i1}},\vec{\alpha_{i2}},...,\vec{\alpha_{ir}} αi1,αi2,...,αir是原向量组的极大线性无关组。（一般不唯一，线性无关向量组的极大线性无关组即为本身）
4. 等价向量组
I . α 1 ⃗ , α 2 ⃗ , . . . , α s ⃗ ， I I . β 1 ⃗ , β 2 ⃗ , . . . , β t ⃗ I.\vec{\alpha_1},\vec{\alpha_2},...,\vec{\alpha_s}，II.\vec{\beta_1},\vec{\beta_2},...,\vec{\beta_t} I.α1,α2,...,αs，II.β1,β2,...,βt
若 I I I中每个 α i ⃗ \vec{\alpha_i} αi均可由 I I II II中向量线性表出且反之亦然，则称向量组 I , I I I,II I,II等价，记为 I ≅ I I I \cong II I≅II
等价具有自反性、等价性和传递性且向量组总是与其极大线性无关组等价。
欢迎扫描二维码关注微信公众号 深度学习与数学 [每天获取免费的大数据、AI等相关的学习资源、经典和最新的深度学习相关的论文研读，算法和其他互联网技能的学习，概率论、线性代数等高等数学知识的回顾]
