【转】扩展卡尔曼滤波EKF与多传感器融合
转自：https://blog.csdn.net/young_gy/article/details/78468153
Extended Kalman Filter（扩展卡尔曼滤波）是卡尔曼滤波的非线性版本。在状态转移方程确定的情况下，EKF已经成为了非线性系统状态估计的事实标准。本文将简要介绍EKF，并介绍其在无人驾驶多传感器融合上的应用。
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KF与EKF
本文假定读者已熟悉KF，若不熟悉请参考卡尔曼滤波简介。
KF与EKF的区别如下：
预测未来：x′=Fx+u
用x′=f(x,u)代替；其余F用Fj
代替。
修正当下：将状态映射到测量的Hx′
用h(x′)代替；其余H用Hj
代替。
其中，非线性函数f(x,u)，h(x′)
用非线性得到了更精准的状态预测值、映射后的测量值；线性变换Fj，Hj通过线性变换使得变换后的x，z
仍满足高斯分布的假设。
Fj，Hj
计算方式如下：
Fjb=∂f(x,u)∂x=∂h(x′)∂x
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为什么要用EKF
KF的假设之一就是高斯分布的x
预测后仍服从高斯分布，高斯分布的x变换到测量空间后仍服从高斯分布。可是，假如F、H
是非线性变换，那么上述条件则不成立。
将非线性系统线性化
既然非线性系统不行，那么很自然的解决思路就是将非线性系统线性化。
对于一维系统，采用泰勒一阶展开即可得到：
f(x)≈f(μ)+∂f(μ)∂x(x−μ)
对于多维系统，仍旧采用泰勒一阶展开即可得到：
T(x)≈f(a)+(x−a)TDf(a)
其中，Df(a)
是Jacobian矩阵。
多传感器融合
lidar与radar
本文将以汽车跟踪为例，目标是知道汽车时刻的状态x=(px,py,vx,vy)
。已知的传感器有lidar、radar。
lidar：笛卡尔坐标系。可检测到位置，没有速度信息。其测量值z=(px,py)
。
radar：极坐标系。可检测到距离，角度，速度信息，但是精度较低。其测量值z=(ρ,ϕ,ρ˙)
，图示如下。
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传感器融合步骤
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步骤图如上所示，包括：
收到第一个测量值，对状态x
进行初始化。
预测未来
修正当下
初始化
初始化，指在收到第一个测量值后，对状态x
进行初始化。初始化如下，同时加上对时间的更新。
对于radar来说，
⎡⎣⎢⎢⎢⎢pxpyvxvy⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢10000100⎤⎦⎥⎥⎥[pxpy]
对于radar来说，
⎡⎣⎢⎢⎢⎢pxpyvxvy⎤⎦⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢ρcosϕρsinϕρ˙cosϕρ˙sinϕ⎤⎦⎥⎥⎥⎥
预测未来
预测主要涉及的公式是：
x′P′=Fx=FPFT+Q
需要求解的有三个变量：F、P、Q
。
F
表明了系统的状态如何改变，这里仅考虑线性系统，F易得：
Fx=⎡⎣⎢⎢⎢10000100dt0100dt01⎤⎦⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢pxpyvxvy⎤⎦⎥⎥⎥⎥
P
表明了系统状态的不确定性程度，用x
的协方差表示，这里自己指定为：
P=⎡⎣⎢⎢⎢1000010000100000001000⎤⎦⎥⎥⎥
Q
表明了x′=Fx未能刻画的其他外界干扰。本例子使用线性模型，因此加速度变成了干扰项。x′=Fx中未衡量的额外项目v
为：
v=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢axdt22aydt22axdtaydt⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢dt220dt00dt220dt⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥[axay]=Ga
v
服从高斯分布N(0,Q)
。
Q=E[vvT]=E[GaaTGT]=GE[aaT]GT=G[σ2ax00σ2ay]GT=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢dt44σ2ax0dt32σ2ax00dt44σ2ay0dt32σ2aydt32σ2ax0dt2σ2ax00dt32σ2ay0dt2σ2ay⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
修正当下
lidar
lidar使用了KF。修正当下这里牵涉到的公式主要是：
ySKx′P′=z−Hx=HPHT+R=PHTS−1=x+Ky=(I−KH)P
需要求解的有两个变量：H、R
。
H
表示了状态空间到测量空间的映射。
Hx=[10010000]⎡⎣⎢⎢⎢⎢pxpyvxvy⎤⎦⎥⎥⎥⎥
R
表示了测量值的不确定度，一般由传感器的厂家提供，这里lidar参考如下：
Rlaser=[0.0225000.0225]
radar
radar使用了EKF。修正当下这里牵涉到的公式主要是：
ySKx′P′=z−f(x)=HjPHTj+R=PHTjS−1=x+Ky=(I−KHj)P
区别与上面lidar的主要有：
状态空间到测量空间的非线性映射f(x)
非线性映射线性化后的Jacob矩阵
radar的Rradar
状态空间到测量空间的非线性映射f(x)
如下
f(x)=⎡⎣⎢ρϕρ˙⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢p2x+p2y−−−−−−√arctanpypxpxvx+pyvyp2x+p2y√⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥
非线性映射线性化后的Jacob矩阵Hj
Hj=∂f(x)∂x=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢∂ρ∂px∂ϕ∂px∂ρ˙∂px∂ρ∂py∂ϕ∂py∂ρ˙∂py∂ρ∂vx∂ϕ∂vx∂ρ˙∂vx∂ρ∂vy∂ϕ∂vy∂ρ˙∂vy⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥
R
表示了测量值的不确定度，一般由传感器的厂家提供，这里radar参考如下：
Rlaser=⎡⎣⎢0.090000.00090000.09⎤⎦⎥
传感器融合实例
多传感器融合的示例如下，需要注意的有：
lidar和radar的预测部分是完全相同的
lidar和radar的参数更新部分是不同的，不同的原因是不同传感器收到的测量值是不同的
当收到lidar或radar的测量值，依次执行预测、更新步骤
当同时收到lidar和radar的测量值，依次执行预测、更新1、更新2步骤
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多传感器融合的效果如下图所示，红点和蓝点分别表示radar和lidar的测量位置，绿点代表了EKF经过多传感器融合后获取到的测量位置，取得了较低的RMSE。
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作者：Young_Gy
来源：CSDN
原文：https://blog.csdn.net/young_gy/article/details/78468153
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