树结构(四) - 哈夫曼树的原理与实现
一、哈夫曼树的介绍
Huffman Tree，中文名是哈夫曼树或霍夫曼树，它是最优二叉树。
定义：给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若树的带权路径长度达到最小，则这棵树被称为哈夫曼树。 这个定义里面涉及到了几个陌生的概念，下面就是一颗哈夫曼树，我们来看图解答。
(1) 路径和路径长度
定义：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。
例子：100和80的路径长度是1，50和30的路径长度是2，20和10的路径长度是3。
(2) 结点的权及带权路径长度
定义：若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。
例子：节点20的路径长度是3，它的带权路径长度= 路径长度 * 权 = 3 * 20 = 60。
(3) 树的带权路径长度
定义：树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL。
例子：示例中，树的WPL= 1*100 + 2*50 + 3*20 + 3*10 = 100 + 100 + 60 + 30 = 290。
比较下面两棵树
上面的两棵树都是以{10, 20, 50, 100}为叶子节点的树。
左边的树WPL=2*10 + 2*20 + 2*50 + 2*100 = 360
右边的树WPL=290
左边的树WPL > 右边的树的WPL。你也可以计算除上面两种示例之外的情况，但实际上右边的树就是{10,20,50,100}对应的哈夫曼树。至此，应该对哈夫曼树的概念有了一定的了解了，下面看看如何去构造一棵哈夫曼树。
二、哈夫曼树的图文解析
假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn，哈夫曼树的构造规则为：
1. 将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)；
2. 在森林中选出根结点的权值最小的两棵树进行合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；
3. 从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；
4. 重复(02)、(03)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。
以{5,6,7,8,15}为例，来构造一棵哈夫曼树。
第1步：创建森林，森林包括5棵树，这5棵树的权值分别是5,6,7,8,15。
第2步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(5和6)来进行合并，将它们作为一颗新树的左右孩子(谁左谁右无关紧要，这里，我们选择较小的作为左孩子)，并且新树的权值是左右孩子的权值之和。即，新树的权值是11。 然后，将"树5"和"树6"从森林中删除，并将新的树(树11)添加到森林中。
第3步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(7和8)来进行合并。得到的新树的权值是15。 然后，将"树7"和"树8"从森林中删除，并将新的树(树15)添加到森林中。
第4步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(11和15)来进行合并。得到的新树的权值是26。 然后，将"树11"和"树15"从森林中删除，并将新的树(树26)添加到森林中。
第5步：在森林中，选择根节点权值最小的两棵树(15和26)来进行合并。得到的新树的权值是41。 然后，将"树15"和"树26"从森林中删除，并将新的树(树41)添加到森林中。
此时，森林中只有一棵树(树41)。这棵树就是我们需要的哈夫曼树！
三、哈夫曼树的基本操作
哈夫曼树的重点是如何构造哈夫曼树。本文构造哈夫曼时，用到了以前介绍过的"(二叉堆)最小堆"。下面对哈夫曼树进行讲解。
1. 基本定义
public class HuffmanNode implements Comparable, Cloneable {
protected int key; // 权值
protected HuffmanNode left; // 左孩子
protected HuffmanNode right; // 右孩子
protected HuffmanNode parent; // 父结点
protected HuffmanNode(int key, HuffmanNode left, HuffmanNode right, HuffmanNode parent) {
this.key = key;
this.left = left;
this.right = right;
this.parent = parent;
}
@Override
public Object clone() {
Object obj=null;
try {
obj = (HuffmanNode)super.clone();//Object 中的clone()识别出你要复制的是哪一个对象。
} catch(CloneNotSupportedException e) {
System.out.println(e.toString());
}
return obj;
}
@Override
public int compareTo(Object obj) {
return this.key - ((HuffmanNode)obj).key;
}
}HuffmanNode是哈夫曼树的节点类。
public class Huffman {
private HuffmanNode mRoot; // 根结点
...
}Huffman是哈夫曼树对应的类，它包含了哈夫曼树的根节点和哈夫曼树的相关操作。
2. 构造哈夫曼树
/*
* 创建Huffman树
*
* @param 权值数组
*/
public Huffman(int a[]) {
HuffmanNode parent = null;
MinHeap heap;
// 建立数组a对应的最小堆
heap = new MinHeap(a);
for(int i=0; i首先创建最小堆，然后进入for循环。
每次循环时：
(1) 首先，将最小堆中的最小节点拷贝一份并赋值给left，然后重塑最小堆(将最小节点和后面的节点交换位置，接着将"交换位置后的最小节点"之前的全部元素重新构造成最小堆)；
(2) 接着，再将最小堆中的最小节点拷贝一份并将其赋值right，然后再次重塑最小堆；
(3) 然后，新建节点parent，并将它作为left和right的父节点；
(4) 接着，将parent的数据复制给最小堆中的指定节点。
四、哈夫曼树的完整源码
1. 哈夫曼树的节点类(HuffmanNode.java)
package com.struction.source.tree.huffman.java;
/**
* Huffman节点类(Huffman.java的辅助类)
*
* @author Anndy
*/
public class HuffmanNode implements Comparable, Cloneable {
protected int key; // 权值
protected HuffmanNode left; // 左孩子
protected HuffmanNode right; // 右孩子
protected HuffmanNode parent; // 父结点
protected HuffmanNode(int key, HuffmanNode left, HuffmanNode right,
HuffmanNode parent) {
this.key = key;
this.left = left;
this.right = right;
this.parent = parent;
}
@Override
public Object clone() {
Object obj = null;
try {
obj = (HuffmanNode) super.clone();// Object 中的clone()识别出你要复制的是哪一个对象。
} catch (CloneNotSupportedException e) {
System.out.println(e.toString());
}
return obj;
}
@Override
public int compareTo(Object obj) {
return this.key - ((HuffmanNode) obj).key;
}
}
2. 哈夫曼树的实现文件(Huffman.java)
package com.struction.source.tree.huffman.java;
/**
* Huffman树
*
* @author Anndy
*/
public class Huffman {
private HuffmanNode mRoot; // 根结点
/*
* 创建Huffman树
*
* @param 权值数组
*/
public Huffman(int a[]) {
HuffmanNode parent = null;
MinHeap heap;
// 建立数组a对应的最小堆
heap = new MinHeap(a);
for (int i = 0; i < a.length - 1; i++) {
HuffmanNode left = heap.dumpFromMinimum(); // 最小节点是左孩子
HuffmanNode right = heap.dumpFromMinimum(); // 其次才是右孩子
// 新建parent节点，左右孩子分别是left/right；
// parent的大小是左右孩子之和
parent = new HuffmanNode(left.key + right.key, left, right, null);
left.parent = parent;
right.parent = parent;
// 将parent节点数据拷贝到"最小堆"中
heap.insert(parent);
}
mRoot = parent;
// 销毁最小堆
heap.destroy();
}
/*
* 前序遍历"Huffman树"
*/
private void preOrder(HuffmanNode tree) {
if (tree != null) {
System.out.print(tree.key + " ");
preOrder(tree.left);
preOrder(tree.right);
}
}
public void preOrder() {
preOrder(mRoot);
}
/*
* 中序遍历"Huffman树"
*/
private void inOrder(HuffmanNode tree) {
if (tree != null) {
inOrder(tree.left);
System.out.print(tree.key + " ");
inOrder(tree.right);
}
}
public void inOrder() {
inOrder(mRoot);
}
/*
* 后序遍历"Huffman树"
*/
private void postOrder(HuffmanNode tree) {
if (tree != null) {
postOrder(tree.left);
postOrder(tree.right);
System.out.print(tree.key + " ");
}
}
public void postOrder() {
postOrder(mRoot);
}
/*
* 销毁Huffman树
*/
private void destroy(HuffmanNode tree) {
if (tree == null)
return;
if (tree.left != null)
destroy(tree.left);
if (tree.right != null)
destroy(tree.right);
tree = null;
}
public void destroy() {
destroy(mRoot);
mRoot = null;
}
/*
* 打印"Huffman树"
*
* key -- 节点的键值 direction -- 0，表示该节点是根节点; -1，表示该节点是它的父结点的左孩子;
* 1，表示该节点是它的父结点的右孩子。
*/
private void print(HuffmanNode tree, int key, int direction) {
if (tree != null) {
if (direction == 0) // tree是根节点
System.out.printf("%2d is root\n", tree.key);
else
// tree是分支节点
System.out.printf("%2d is %2d's %6s child\n", tree.key, key,
direction == 1 ? "right" : "left");
print(tree.left, tree.key, -1);
print(tree.right, tree.key, 1);
}
}
public void print() {
if (mRoot != null)
print(mRoot, mRoot.key, 0);
}
}
3. 哈夫曼树对应的最小堆(MinHeap.java)
package com.struction.source.tree.huffman.java;
/**
* 最小堆(Huffman.java的辅助类)
*
* @author Anndy
*/
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
public class MinHeap {
private List mHeap; // 存放堆的数组
/*
* 创建最小堆
*
* 参数说明： a -- 数据所在的数组
*/
protected MinHeap(int a[]) {
mHeap = new ArrayList();
// 初始化数组
for (int i = 0; i < a.length; i++) {
HuffmanNode node = new HuffmanNode(a[i], null, null, null);
mHeap.add(node);
}
// 从(size/2-1) --> 0逐次遍历。遍历之后，得到的数组实际上是一个最小堆。
for (int i = a.length / 2 - 1; i >= 0; i--)
filterdown(i, a.length - 1);
}
/*
* 最小堆的向下调整算法
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明： start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始) end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
protected void filterdown(int start, int end) {
int c = start; // 当前(current)节点的位置
int l = 2 * c + 1; // 左(left)孩子的位置
HuffmanNode tmp = mHeap.get(c); // 当前(current)节点
while (l <= end) {
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if (l < end && (mHeap.get(l).compareTo(mHeap.get(l + 1)) > 0))
l++; // 左右两孩子中选择较小者，即mHeap[l+1]
int cmp = tmp.compareTo(mHeap.get(l));
if (cmp <= 0)
break; // 调整结束
else {
mHeap.set(c, mHeap.get(l));
c = l;
l = 2 * l + 1;
}
}
mHeap.set(c, tmp);
}
/*
* 最小堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明： start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
protected void filterup(int start) {
int c = start; // 当前节点(current)的位置
int p = (c - 1) / 2; // 父(parent)结点的位置
HuffmanNode tmp = mHeap.get(c); // 当前(current)节点
while (c > 0) {
int cmp = mHeap.get(p).compareTo(tmp);
if (cmp <= 0)
break;
else {
mHeap.set(c, mHeap.get(p));
c = p;
p = (p - 1) / 2;
}
}
mHeap.set(c, tmp);
}
/*
* 将node插入到二叉堆中
*/
protected void insert(HuffmanNode node) {
int size = mHeap.size();
mHeap.add(node); // 将"数组"插在表尾
filterup(size); // 向上调整堆
}
/*
* 交换两个HuffmanNode节点的全部数据
*/
private void swapNode(int i, int j) {
HuffmanNode tmp = mHeap.get(i);
mHeap.set(i, mHeap.get(j));
mHeap.set(j, tmp);
}
/*
* 新建一个节点，并将最小堆中最小节点的数据复制给该节点。 然后除最小节点之外的数据重新构造成最小堆。
*
* 返回值： 失败返回null。
*/
protected HuffmanNode dumpFromMinimum() {
int size = mHeap.size();
// 如果"堆"已空，则返回
if (size == 0)
return null;
// 将"最小节点"克隆一份，将克隆得到的对象赋值给node
HuffmanNode node = (HuffmanNode) mHeap.get(0).clone();
// 交换"最小节点"和"最后一个节点"
mHeap.set(0, mHeap.get(size - 1));
// 删除最后的元素
mHeap.remove(size - 1);
if (mHeap.size() > 1)
filterdown(0, mHeap.size() - 1);
return node;
}
// 销毁最小堆
protected void destroy() {
mHeap.clear();
mHeap = null;
}
}
4. 哈夫曼树的测试程序(HuffmanTest.java)
package com.struction.source.tree.huffman.java;
/**
* Huffman树的测试程序
*
* @author Anndy
*/
public class HuffmanTest {
private static final int a[] = { 5, 6, 8, 7, 15 };
public static void main(String[] args) {
int i;
Huffman tree;
System.out.print("== 添加数组: ");
for (i = 0; i < a.length; i++)
System.out.print(a[i] + " ");
// 创建数组a对应的Huffman树
tree = new Huffman(a);
System.out.print("\n== 前序遍历: ");
tree.preOrder();
System.out.print("\n== 中序遍历: ");
tree.inOrder();
System.out.print("\n== 后序遍历: ");
tree.postOrder();
System.out.println();
System.out.println("== 树的详细信息: ");
tree.print();
// 销毁二叉树
tree.destroy();
}
}