图像求导

例-3】Laplacian滤波

更复杂些的滤波算子一般是先利用高斯滤波来平滑，然后计算其1阶和2阶微分。由于它们滤除高频和低频，因此称为带通滤波器（band-pass filters）。

在介绍具体的带通滤波器前，先介绍必备的图像微分知识。

1 一阶导数

连续函数，其微分可表达为 ，或                         （1.1）

对于离散情况（图像），其导数必须用差分方差来近似，有

，前向差分 forward differencing                  （1.2）

 ，中心差分 central differencing                     （1.3）

代码实现：http://www.cnblogs.com/pegasus/archive/2011/05/20/2051780.html

实例：技术图像x方向导数

?

1 2	I = imread( 'coins.png' ); figure; imshow(I); Id = mipforwarddiff(I, 'dx' ); figure, imshow(Id);

 

    原图像                                                   x方向1阶导数

2 图像梯度（Image Gradient）

图像I的梯度定义为  ，其幅值为 。出于计算性能考虑，幅值也可用 来近似。

Matlab函数

1）gradient：梯度计算

2）quiver：以箭头形状绘制梯度。注意放大下面最右侧图可看到箭头，由于这里计算横竖两个方向的梯度，因此箭头方向都是水平或垂直的。

实例：仍采用上面的原始图像

?

1 2 3 4 5

I =  double (imread( 'coins.png' )); [dx,dy]=gradient(I); magnitudeI=sqrt(dx.^2+dy.^2); figure;imagesc(magnitudeI);colormap(gray);%梯度幅值 hold on;quiver(dx,dy);%叠加梯度方向

 

梯度幅值                                   梯度幅值+梯度方向

3 二阶导数

对于一维函数，其二阶导数 ，即 。它的差分函数为

                  （3.1）

3.1 普拉斯算子（laplacian operator）

3.1.2 概念

拉普拉斯算子是n维欧式空间的一个二阶微分算子。它定义为两个梯度向量算子的内积

      （3.2）

其在二维空间上的公式为：                    （3.3)

对于1维离散情况，其二阶导数变为二阶差分

1）首先，其一阶差分为

2）因此，二阶差分为

           

3）因此，1维拉普拉斯运算可以通过1维卷积核 实现

对于2维离散情况（图像），拉普拉斯算子是2个维上二阶差分的和（见式3.3），其公式为：

   （3.4）

上式对应的卷积核为

常用的拉普拉斯核有：