第五次作业

选作教材2.20题

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概述

与之前的加农炮弹不一样之处主要在棒球旋转而产生的影响，在空间三个轴上考虑单独的影响，叠加位移，得出三维轨迹。

水平方向x，竖直方向y，假定球自转恒定沿y方向

坐标轴示意图

数值计算分解为三个独立部分：

x方向和y方向  阻力系数随速度变化的变减速运动

z方向  球自旋引起的受力方向，为初速度为0的加速运动，因其速度不大故忽略阻力影响

阻力式

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x方向迭代式

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y方向迭代式

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z方向迭代式

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根据书中建议

课本建议值

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数值迭代及绘图

2.20题建议值，V0=90mph≈40m/s，出射角为20°。

设ω≈20弧度/秒，使用10000步迭代，得轨迹图：

考虑棒球的缝合线粗糙对轨迹的影响，如果自转速度较大的话，缝合线的影响将显现不明显，所以选取较小的自转角速度ω=3弧度/秒，使用10000步迭代，绘图如下：

从上图已能看出z方向的波动前行效果。

为使z方向的效果更明显，之后的绘图不再画出x-y平面内的轨迹，因为由于速度差别较大的原因，x-z平面内的轨迹变化不及x-y平面内明显，故单独画出x-z平面内的轨迹变化以使其从图中看起来更明显一些。

与直线前行方向偏离了约1米，自旋角速度ω=3弧度/秒

增大自旋角速度至ω=10弧度/秒，可看出波动的效果减小，分析公式：

vzi=vzi

-vxi* ω *0.00041*dt ①

-4.9*(math.sin(4*theta)-0.25*math.sin(8*theta)+0.08*math.sin(12*theta)-0.025*math.sin(16*theta))*dt; ②

①式为旋转时由气体阻力产生的z向速度

②式为缝合线产生的影响

分析易知：当自旋角速度至ω增大时，①式对于结果的影响也增大，导致上图z方向的轨迹趋势被削弱而趋于平稳变化，例如把ω值从3改为10，绘图：

ω=10弧度/秒

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现在比对①②对z方向位移的单独和叠加影响

取两个独立的自旋角速度ω=3和10，全部使用10000步迭代

不考虑②式而只考虑①式时，轨迹偏转为：

不考虑①式而只考虑②式时，轨迹偏转为：

可以发现自旋角速度ω越大时，偏转的波动周期越短而波动幅度越小。

①②皆考虑时，轨迹偏转为：

可以发现叠加使得总的轨迹在②式的影响下有波动的同时，波动轨迹的自身也因为①式的影响而发生了偏转。

可以发现，在初射速率和初射角度以及球的参数保持不变时，球绕竖直轴y的自旋角速度ω对球的最终轨迹产生着决定性的影响，对棒球手来说，控制发球时施予棒球的自旋力道是一个很重要的技巧。

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总结

棒球的运动是比较复杂的，我们的数值计算公式在做了一些能使得过程比较简单的近似处理之后，依旧能从以上轨迹绘图中发现棒球运动的难度之高，但这也使得这项运动的魅力增加。以上计算中我没有考虑风速带来的影响等等。可以预见，虽然此次数值计算能在一定程度上近似刻画棒球运动规律，可以为棒球手提供一些指导，但在真正的赛场上，风速和球的表面参数等是随着时间变化的，为了更精确的轨迹预测，必须对模型再加以改进。